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Begleitbuch zum Vor- und Brückenkurs "Mathematik für Einsteiger" mit Schwerpunkt auf der Lösung von Aufgaben.

 

 

 

Dieses Buch erleichtert Studienanfängern den Einstieg in die Hochschulmathematik und kann Unentschlossenen bei der Wahl des Studienfaches helfen. Vor allem werden ausführliche Lösungen zu den Aufgaben aus dem Buch „Mathematik für Einsteiger“ präsentiert, aber es wird auch der mathematische Hintergrund erläutert und dabei sehr viel Wert auf Motivationen, ausführliche Erklärungen und Beispiele gelegt.Man kann das Buch ganz unabhängig lesen oder als Begleitlektüre zu einem beliebigen Vorkurs oder Einführungsbuch benutzen. Am Anfang steht eine Einführung in Logik und Mengenlehre. In der damit erworbenen Sprache wird dann Mathematik aus schulischen Grund- und Leistungskursen neu formuliert, unter anderem die elementare Algebra, der Umgang mit Grenzwerten, Geometrie, Trigonometrie, Vektorrechnung und Differential- und Integralrechnung. Auf Beweise, die man in der angegebenen Literatur finden kann, wird in der Regel verzichtet, aber dafür werden Beweismethoden und Rezepte zur Ideenfindung in den Beispielen sehr ausführlich angesprochen.

 

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

Vorwort v / Liste der Beispiele xiii / / 1 Logik und Geometrie (oder: Wie wahr ist die Mathematik?) 1 / 1.1 Ein Beispiel: der Satz des Pythagoras 1 / 1.2 Alles beginnt mit den Axiomen 7 / 1.3 Logik 12 / 1.4 Beweistechniken 19 / 1.5 Zusätzliche Aufgaben 22 / / 2 Mengenlehre (oder: Von Mengen und Unmengen) 25 / 2.1 Mengen und ihre Elemente 25 / 2.2 Mengenalgebra 30 / 2.3 Mengen und Quantoren 33 / 2.4 Zusätzliche Aufgaben 36 / / 3 Die Axiom e der Algebra (oder: Unendlich viele Zahlen) 39 / 3.1 Wie die Algebra in die Welt kam 39 / 3.2 Die Algebra der reellen Zahlen 41 / 3.3 Ungleichungen 46 / 3.4 Natürliche Zahlen und Induktion 48 / 3.5 Teilbarkeitslehre 54 / 3.6 Rechnen mit Resten 59 / 3.7 Zusätzliche Aufgaben 69 / / 4 Kombinatorik und Grenzwerte (oder: Auf dem Weg ins Irrationale) 72 / 4.1 Das Summenzeichen 72 / 4.2 Zählen und Kombinieren 74 / 4.3 Das Problem der irrationalen Zahlen 86 / 4.4 Der Konvergenzbegriff 97 / 4.5 Reihen 104 / 4.6 Zusätzliche Aufgaben 107 / / / 5 Relationen, Funktionen, Abbildungen (oder: Eins hängt vom anderen ab) 110 / 5.1 Produkte und Relationen 110 / 5.2 Äquivalenzrelationen 114 / 5.3 Funktionen 117 / 5.4 Polynome und rationale Funktionen 122 / 5.5 Die Division mit Rest für Polynome 124 / 5.6 Injektivität und Surjektivität 127 / 5.7 Verknüpfungen und Umkehrabbildungen 132 / 5.8 Exponentialfunktion und Logarithmus 136 / 5.9 Die Mächtigkeit von Mengen 138 / 5.10 Gruppen 141 / 5.11 Zusätzliche Aufgaben 142 / / 6 Grundlagen der Geom etrie (oder: Die Parallelität der Ereignisse) 146 / 6.1 Schulgeometrie 146 / 6.2 Geraden und Lineale 147 / 6.3 Über die Lage von Punkten 150 / 6.4 Eichsysteme und Streckenverhältnisse 152 / 6.5 Die Parallelprojektion 153 / 6.6 Analytische Geometrie der Ebene 156 / 6.7 Der Begriff der Orthogonalität 164 / 6.8 Die euklidische Metrik 170 / 6.9 Ähnlichkeit, Kongruenz und Flächeninhalt .177 / 6.10 Zusätzliche Aufgaben 182 / / 7 Trigonometrie (oder: A llerlei W inkelzüge) 185 / 7.1 Kreise, Winkel und Konstruktionen 185 / 7.2 Winkelfunktionen 190 / 7.3 Bewegungen 198 / 7.4 Zusätzliche Aufgaben 202 / / 8 Vektorrechnung (oder: Das Parallelogram m der Kräfte) 206 / 8.1 Der Vektorbegriff 206 / 8.2 Vektorräume 209 / 8.3 Vektoren in Koordinatenschreibweise 212 / 8.4 Lineare Unabhängigkeit 214 / 8.5 Geraden und E benen 217 / 8.6 Länge und Winkel 221 / 8.7 Die Hesse'sehe Normalform 224 / 8.8 Lineare Gleichungssysteme 227 / 8.9 Das Vektorprodukt 236 / 8.10 Zusätzliche Aufgaben 245 / / 9 Grenzwerte von Funktionen (oder: Extremfälle) 248 / 9.1 Die Entdeckung des Infinitesimalen 248 / 9.2 Die A bleitung 252 / 9.3 Topologie und Stetigkeit 256 / 9.4 Differenzierbarkeit 265 / 9.5 Kurvenanalyse 273 / 9.6 Der Zaubertrick des Marquis de l'Hospital 276 / 9.7 Zusätzliche Aufgaben 277 / / 10 Integrale und Stammfunktionen (oder: Die Kunst des Integrieren) 281 / 10.1 Das Riemann'sche Integral 281 / 10.2 Stammfunktionen 284 / 10.3 Logarithmus und Exponentialfunktion 287 / 10.4 Die Bestimmung von Stammfunktionen 292 / 10.5 Zusätzliche Aufgaben .297 / / 11 Komplexe Zahlen (oder: Imaginäre Welten) 299 / 11.1 Gleichungen dritten Grades .299 / 11.2 Komplexe Z ahlen 301 / 11.3 Polarkoordinaten 303 / 11.4 Komplexe Polynome 306 / 11.5 Komplexe Zahlen in der Geometrie 308 / 11.6 Die Quaternionen 309 / 11.7 Zusätzliche Aufgaben 310 / / 12 Lösungen 313 / / Literaturverzeichnis 392 / Index 394