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Eine lockere und ausführliche Darstellung des mathematischen Stoffes, den man vor der ausführlicheren Beschäftigung mit der Differenzial- und Integralrechnung kennen sollte.

 

Aus dem Inhalt:

Einführung/ Über dieses Buch 19/ / Teil I/ Aufstellen, Lösen, Zeichnen 25/ Kapitel 1/ Themen aus der Mathematik vor den Grundtagen der Analysis 27/ Grundlagen der Analysis: Ein Überblick 27/ Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!) 29/ Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten 29/ Die grundlegenden Operationen für Zahlen 30/ Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten! 31/ Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen 32/ Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen 32/ Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen 33/ Informationen aus Graphen ablesen 34/ Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner 36/ / Kapitel 2/ Reelle Zahlen 39/ Ungleichungen lösen 39/ Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen 39/ Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen 40/ Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken 42/ Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten 44/ Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen 44/ Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen) 45/ Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren 46/ / Kapitel 3/ Die Voraussetzung für die Grundtagen der Analysis: Funktionen h9/ Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen 49/ Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen 50/ Quadratische Funktionen 50/ Quadratwurzelfunktionen 51/ Absolutwertfunktionen 52/ Kubikfunktionen 52/ Kubikwurzelfunktionen 53/ Transformation der Grundgraphen 54/ Vertikale Transformationen 55/ Horizontale Transformationen 56/ Translationen 57/ Spiegelungen 59/ Kombinationen verschiedener Transformationen/ (selbst wieder eine Transformation!) 60/ Punktweise Transformation von Funktionen 62/ Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden:/ Stückweise Funktionen 63/ Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen 65/ Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten 65/ Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten 66/ Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen 67/ Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden 67/ Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen 68/ Der Nenner hat den höheren Grad 68/ Zähler und Nenner haben denselben Grad 71/ Der Zähler hat den höheren Grad 72/ Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell 73/ Addieren und Subtrahieren 74/ Multiplizieren und Dividieren 75/ Die Verknüpfung von Funktionen verstehen 76/ Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs/ verknüpfter Funktionen (falls nötig) 76/ Wechselspiele mit inversen Funktionen 79/ Den Graphen einer Inversen darstellen 79/ Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden 81/ Eine Inverse überprüfen 81/ / Kapitel 4/ Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen/ Von Polynomfunktionen darzustellen 83/ Die Bedeutung von Graden und Nullstellen 83/ Einen Polynomausdruck faktorisieren 85/ Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT 86/ Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome 87/ Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren 89/ Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren 92/ Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen 94/ Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) -/ falls nicht faktorisiert werden kann 94/ Die Quadratformel anwenden 95/ Die quadratische Ergänzung 95/ Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen 97/ Alle Nullstellen eines Polynoms zählen 97/ Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes 97/ Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra 98/ Reelle Nullstellen raten und prüfen 100/ Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden 106/ Graphen von Polynomen zeichnen 107/ Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind 107/ Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind:/ Alle Techniken kombinieren 110/ / Kapitel 5/ Exponentielle und logarithmische Funktionen 113/ Exponentialfunktionen 114/ Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion 114/ Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion 116/ Logarithmen: Die Umkehr der Exponentialfunktionen 118/ Logarithmen in den Griff kriegen 118/ Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen 119/ Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen/ natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt) 120/ Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen 121/ Graphen von Logarithmen 121/ Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen 125/ Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt 125/ Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen 127/ Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen 129/ / Teil 11/ Die richtigsten Grundlagen der Trigonometrie 133/ Kapitel 6/ Winket und der Einheitskreis 135/ Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis 135/ Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen 136/ Einen Sinus schaffen 137/ Die Suche nach dem Kosinus 138/ Weiter zum Tangens 139/ Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen 140/ Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen 141/ Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene 142/ Den Einheitskreis in den Griff bekommen 145/ Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut 145/ Ungebräuchliche Winkel zeichnen 146/ Spezielle Winkelverhältnisse 148/ Der 45er: 45°-45°-90°-Dreiecke 148/ Das alte 30-60:30o-60°-90°-Dreiecke 149/ Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark! 150/ Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren 151/ Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden 153/ Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen 158/ Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen 163/ / Kapitel 7/ Graphen und Transformationen Von trigonometrischen Funktionen 165/ Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren 165/ Der Sinus-Graph 166/ Der Kosinus-Graph 168/ Die Graphen von Tangens und Kotangens 169/ Tangens 170/ Kotangens 172/ Sekans und Kosekans in Bildern 174/ Sekans 174/ Kosekans 176/ Trigonometrische Graphen transformieren 177/ An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln 178/ Änderung der Amplitude 178/ Graphen von Tangens und Kotangens anpassen 179/ Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren 192/ / Kapitel 8/ Trigonometrische Identitäten: Die Grundtagen 197/ Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in das Thema Identitäten 198/ Der Zweck heiligt die Mittel: Grundlegende trigonometrische Identitäten 198/ Kehrwert-Identitäten 199/ Pythagoräische Identitäten 201/ Gerade/Ungerade-Identitäten 204/ Kofunktions-Identitäten 205/ Periodizitäts-Identitäten 207/ Schwierige trigonometrische Beweise: Ein paar Techniken,/ die Sie kennen sollten 209/ Nervtötende Nenner 210/ Auf jeder Seite unabhängig arbeiten 213/ / Kapitel 9/ Es geht Weiter: Identitäten für Fortgeschrittene! 217/ Trigonometrische Funktionen von Summen und Differenzen finden 217/ Den Sinus von (a ± b) bestimmen 218/ Den Kosinus von (a ± b) berechnen 222/ Den Tangens von (a ± b) berechnen 224/ Die Summen- und Differenzformeln auf Beweise anwenden 226/ Den trigonometrischen Wert eines Winkels verdoppeln, ohne den Winkel zu kennen 227/ Den Sinus eines verdoppelten Winkels bestimmen 227/ Den Kosinus für zwei berechnen 229/ Quadrieren Sie Ihre Sorgen weg! 230/ Doppelter Spaß mit dem Tangens 231/ Trigonometrische Funktionen allgemeiner Winkel, dividiert durch zwei 232/ Ausblick auf die Analysis: Von Produkten zu Summen und zurück 234/ Produkte als Summen (oder Differenzen) ausdrücken 234/ Von Summen (oder Differenzen) zu Produkten 236/ Exponenten trigonometrischer Funktionen mit Hilfe der Formeln/ zur Potenzreduzierung eliminieren 237/ / Kapitel 10/ Schiefe Dreiecke mit dem Sinus- und dem Kosinussatz bestimmen 239/ Ein Dreieck mit dem Sinussatz lösen 240/ Zwei Winkel sind bekannt 241/ Zwei bekannte aufeinander folgende Seitenlängen (SSW) 244/ Einem Dreieck mit dem Kosinussatz zu Leibe rücken 250/ SSS: Winkel bestimmen, wenn nur die Seiten bekannt sind 251/ SWS: Der Winkel in der Mitte (und die beiden Seiten) 253/ Das Dreieck durch Berechnung der Fläche bestimmen 255/ Fläche anhand von zwei Seiten und einem dazwischen liegenden Winkel/ bestimmen (für SWS-Szenarien) 255/ Die Formel von Heron (für SSS-Szenarien) 255/ / Teil III/ Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 257/ Kapitel 11/ Eine neue Denkweise: Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten 259/ Ein Vergleich zwischen reellen und imaginären Zahlen/ (und wie die Mathematiker sie sehen) 259/ Reell und imaginär kombinieren: Das komplexe Zahlensystem 261/ Die Bedeutung komplexer Zahlen verstehen 261/ Operationen mit komplexen Zahlen 261/ Komplexe Zahlen graphisch darstellen 263/ Polarkoordinaten 264/ Die Polarkoordinatenebene 265/ Polarkoordinaten mit negativen Werten graphisch darstellen 267/ In und von Polarkoordinaten umrechnen 269/ Polargleichungen graphisch darstellen 272/ / Kapitel 12/ Kegelschnitte 275/ Kegel an Kegel: Die vier Kegelschnitte 276/ Im Bilde (Graphenform) 276/ Schriftlich (Gleichungsform) 277/ Es geht rund: Kreise 278/ Einen Kreis zeichnen 279/ Auf und ab mit Parabeln 281/ Beschriftung der Teile 281/ Die Eigenschaften einer Standardparabel 282/ Variationen zeichnen: Parabeln in der Ebene (und nicht im Ursprung) 283/ Bestimmung von Scheitel, Symmetrieachse, Brennpunkt und Leitlinie 284/ Minimum- und Maximumwerte vertikaler Parabeln bestimmen 288/ Ellipsen (ein lustiges Wort für Ovale) 289/ Ellipsen beschriften und algebraisch ausdrücken 290/ Teile des Ovals identifizieren: Scheitel, Nebenscheitel,/ Achsen und Brennpunkte 291/ Hyperbeln - ein Parabelnpaar 294/ Die beiden Hyperbeltypen und ihre Bestandteile visualisieren 294/ Den Graphen einer Hyperbel aus der Gleichung ableiten 296/ Die Gleichung von Asymptoten finden 298/ Kegelschnitte außerhalb der Welt der kartesischen Koordinaten ausdrücken 299/ Kegelschnitte in parametrischer Form zeichnen 299/ Gleichungen von Kegelschnitten in der Polarkoordinatenebene 301/ / / Kapitel 13/ Gleichungssysteme und Matrizen 305/ Eine Einführung zu den Lösungsverfahren von Gleichungssystemen 306/ Lösungen von Systemen mit zwei Gleichungen algebraisch bestimmen 307/ Lineare Systeme lösen 307/ Nicht lineare Systeme 311/ Systeme mit mehr als zwei Gleichungen lösen 313/ Partialbruchzerlegung 316/ Ungleichungssysteme 317/ Matrizen: Grundlagen 319/ Grundlegende Operationen für Matrizen 320/ Matrizen miteinander multiplizieren 321/ Matrizen vereinfachen, um den Lösungsprozess leichter zu machen 324/ Ein System in Matrizenform darstellen 324/ Reduzierte Zeilenstufenform 325/ Erweiterte Form 327/ Matrizen beherrschen 328/ Mit der Gaußschen Eliminierung Systeme lösen 328/ Eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizieren 331/ Mit Determinanten arbeiten: Die Cramersche Regel 334/ / Kapitel 14/ Folgen, Reihen und die Entwicklung Von Binomen 339/ Folgerichtig: Die allgemeine Vorgehensweise 339/ Die Terme einer Folge mit Hilfe des Folgenausdrucks berechnen 340/ In die umgekehrte Richtung arbeiten: Anhand von Termen/ einen Ausdruck bilden 340/ Rekursive Folgen: Eine Art allgemeine Folge 341/ Den Abstand zwischen Termen berechnen: Arithmetische Folgen 342/ Mit Hilfe aufeinander folgender Terme einen weiteren Term in einer/ arithmetischen Folge finden 343/ ... mit Hilfe von zwei beliebigen Termen 343/ Gleiche Verhältnisse aufeinander folgender Terme: Geometrische Folgen 344/ Einen Term identifizieren, wenn man aufeinander folgende Terme kennt 345/ Außer der Reihe: Einen Term finden, wenn die Terme nicht/ aufeinander folgend sind 346/ Eine Reihe erstellen: Die Terme einer Folge aufsummieren 347/ Die allgemeine Summennotation 347/ Die Summe einer arithmetischen Folge bilden 348/ Aufaddieren geometrischer Folgen 349/ Weiter mit dem binomischen Lehrsatz 352/ Der binomische Lehrsatz und seine Bestandteile 353/ Wir beginnen ganz vorne: Binomische Koeffizienten 354/ Mit dem binomischen Satz entwickeln 355/ / Kapitel 15/ Ausblick auf die Analysis 361/ Der Unterschied zwischen den Grundlagen der Analysis und der Analysis 361/ Grenzwerte verstehen und darüber sprechen 363/ Den Grenzwert einer Funktion finden 363/ Graphisch 364/ Analytisch 365/ Algebraisch 366/ Mit Grenzwerten arbeiten: Die Grenzwertsätze 369/ Stetigkeit von Funktionen überprüfen 370/ Feststellen, ob eine Funktion stetig ist 370/ Der Umgang mit der Unstetigkeit 370/ / Kapitel 16/ Grenzwerte auswerten 373/ Einfache Grenzwerte 373/ Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 373/ Einsetzen und Einkochen 374/ Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 374/ Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 375/ Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen 377/ Machen Sie eine Pause - mit einem Grenzwert-Sandwich 380/ Grenzwerte bei unendlich auswerten 385/ Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 386/ Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen 387/ Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 388/ / Kapitel 17/ Differentiation - Orientierung 391/ Differentiation: Sucht die Steigung! 392/ Die Steigung einer Geraden 394/ Die Ableitung einer Geraden 396/ Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 397/ Analysis auf dem Spielplatz 397/ Geschwindigkeit - die uns vertrauteste Änderungsrate 398/ Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 399/ Die Ableitung einer Kurve 400/ Der Differenzquotient 402/ Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate 409/ Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 409/ / Kapitel 18/ Integration und Flächenannäherung - Ein Einstieg lili/ Integration: Einfach eine seltsame Addition 411/ Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 413/ Der Umgang mit negativen Flächen 416/ Flächen annähern 416/ Flächen mit Hilfe linker Summen annähern 416/ Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern 419/ Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 422/ Die Summennotation 423/ Die Grundlagen summieren 424/ Riemann-Summen in Sigma-Notation 424/ Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln 427/ Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 430/ Die Trapezregel 430/ Die Simpson-Regel - Thomas (1710-1761), nicht Homer (1987-) 433/ / Teil IV/ Der Teil der Zehn Iß5/ Kapitel 19/ Zehn Gewohnheiten, die Ihnen bei der Analysis het fen b37/ Lesen Sie genau, wie die Aufgabe lautet! 437/ Zeichnen Sie Bilder (viele Bilder!)! 438/ Planen Sie Ihren Angriff! 438/ Schreiben Sie sich alle Formeln auf! 439/ Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit! 440/ Erkennen Sie, wann Sie aufhören sollten! 440/ Überprüfen Sie Ihre Lösungen! 441/ Üben Sie! 441/ Stellen Sie sicher, dass Sie die Konzepte verstanden haben! 442/ Löchern Sie Ihren Lehrer mit Fragen! 442/ / Kapitel 20/ Zehn Dinge, die Sie sich abgewöhnen sollten,/ bevor Sie mit der Analysis beginnen 443/ Falsche Operatorreihenfolge 443/ Quadrieren ohne EAIL 443/ Nenner aufspürten 444/ Falsche Terme zusammenfassen 444/ Den Kehrwert vergessen 444/ Minuszeichen vergessen 445/ Übervereinfachung von Wurzeln 445/ Exponentielle Irrtümer 445/ Zu schnell kürzen 446/ Falsch Einmultiplizieren