Mathematische Modellierung erhält als Gegenstand des Unterrichts an Schulen und Hochschulen ein immer stärkeres Gewicht. Hierfür gibt es gute Gründe: Fragestellungen der Natur-, Technik- und Gesellschaftswissenschaften ebenso wie Aufgaben in Industrie, Wirtschaft und Verwaltung werden zunehmend – und in vielen Bereichen bereits überwiegend – unter Verwendung mathematischer Modelle unterschiedlichster Komplexitätsstufen bearbeitet. Modellierung, also die Herstellung eines formalen Abbilds eines Teilaspekts der Wirklichkeit, und die anschließende Simulation des realen Prozesses zumeist auf dem Computer gehören heute zu den Standardwerkzeugen einer hochtechnisierten Gesellschaft.
Das Buch bietet eine Einführung in dieses komplexe Gebiet. In zwölf Fallstudien werden mathematische Modelle unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades entwickelt, mathematisch analysiert und hinsichtlich der Relevanz für den jeweiligen realen Gegenstandsbereich untersucht.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Was ist mathematische Modellierung? 1
1 Zur Entwicklung des Modellbegriffs 1
1.1 Die mathematisch-naturwissenschaftliche Methode 1
1.2 Der Modellbegriff 2
1.3 Der Modellierungsprozess 4
2 Modellierungsrezepte und -instrumente 5
2.1 Ein paar Grundregeln 5
2.2 Simulationswerkzeuge 8
3 Klassifikationen mathematischer Modelle 8
3.1 Klassifikation nach der Durchsichtigkeit der Modelle 8
3.2 Klassifikation nach der eingesetzten Mathematik 12
I Statische Modelle 15
Diskrete Strukturen 17
4 Erstellung von Ligaplänen 17
4.1 Anforderungen an Spielpläne 18
4.2 Darstellung von Spielplänen 22
4.3 Konstruktion einfacher Spielpläne 22
4.4 Konstruktion kompletter Spielpläne 23
4.5 Zusammenfassung 28
4.6 Lösungen der Aufgaben 28
5 Mathematische Gesetzmäßigkeiten in der Blattstellungslehre 29
5.1 Einführung 29
5.2 Fibonaccizahlen und Goldener Winkel 33
5.3 Modellierung der Spiralbildung 35
5.4 Zusammenfassung 43
5.5 Lösungen der Aufgaben 44
6 Optimale Routenplanung bei der Müllabfuhr 44
6.1 Einführung 44
6.2 Modellierung als graphentheoretisches Problem 46
6.3 Konstruktion von Eulergraphen und-touren 47
6.4 Algorithmen zur Bestimmung von Eulertouren in Eulergraphen 48
6.5 Verbindung von ungeraden Knoten 51
6.6 Eine optimale Route für Modelstown 52
6.7 Zusammenfassung 55
Bewertungs- und Zielfunktionen 57
7 Qualitätsprüfung nicht gewebter Vliesstoffe 57
7.1 Einführung 57
7.2 Verwendung konventioneller Abstandsmaße 59
7.3 Löcher und Lochmaße 62
7.4 Weitere Maße zur Beurteilung von Vliesen 67
7.5 Zusammenfassung 68
8 Optimale Stationierung von Rettungshubschraubern 69
8.1 Einführung 69
8.2 Ein allgemeiner Modellrahmen 72
8.3 Probleme mit einem Hubschrauber 74
8.4 Der allgemeine Fall: Zwölf Modelle 81
8.5 Eine Lösungsheuristik 84
8.6 Zusammenfassung 88
8.7 Lösungen der Aufgaben 88
II Dynamische Modelle 91
Diskrete Prozesse 93
9 Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur 93
9.1 Einführung 93
9.2 Modellentwicklung 96
9.3 Daten und Prognosen 98
9.4 Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums 103
9.5 Zusammenfassung 111
9.6 Lösungen der Aufgaben 112
10 Verdrängungswettbewerb von Eichhörnchen 112
10.1 Einführung 112
10.2 Modellierung als Markov-Kette 114
10.3 Auswertung des Eichhörnchen-Modells 118
10.4 Zusammenfassung 120
10.5 Lösungen der Aufgaben 120
Kontinuierliche Prozesse 121
11 Wachstum der Weltbevölkerung 121
11.1 Einführung 121
11.2 Allgemeine Überlegungen zur Modellierung des Wachstums 123
11.3 Konstante Wachstumsgeschwindigkeit: Lineares Wachstum 124
11.4 Konstante Wachstumsrate: Exponentielles Wachstum 125
11.5 Zeitabhängige Wachstumsrate 128
11.6 Eine Prognose 133
11.7 Zusammenfassung 135
11.8 Lösungen der Aufgaben 135
12 Auftreten von Eis-und Warmzeiten 135
12.1 Einführung 135
12.2 Mathematische Modellbildung 136
12.3 Entdimensionalisierung 139
12.4 Gleichgewichtspunkte und ihre Stabilität 140
12.5 Zusammenfassung 143
13 Stabilität des Golfstroms 144
13.1 Einführung 144
13.2 Mathematische Modellbildung 146
13.3 Entdimensionalisierung 148
13.4 Gleichgewichtspunkte und ihre Stabilität 148
13.5 Zusammenfassung 153
13.6 Lösungen der Aufgaben 153
14 Ein mikroskopisches Verkehrsfluss-Modell 153
14.1 Einführung 153
14.2 Mathematische Modellbildung 154
14.3 Entdimensionalisierung 156
14.4 Eine Gleichgewichtslösung mit Stabilitätsanalyse 156
14.5 Weitergehende Analysen 162
14.6 Zusammenfassung 164
15 Ein makroskopisches Verkehrsfluss-Modell 164
15.1 Einführung 164
15.2 Mathematische Modellbildung 165
15.3 Entdimensionalisierung 166
15.4 Die Charakteristiken-Methode 168
15.5 Integrallösungen 170
15.6 Sprungbedingungen 173
15.7 Verdünnungswellen 177
15.8 Entropiebedingungen 178
15.9 Zusammenfassung 184
Anhang: Mathematische Werkzeuge 187
A Lineare Iterationsprozesse 189
A.1 Allgemeine Lösung und Fundamentalsysteme 189
A.2 Langzeitverhalten der Lösungen 191
B Gewöhnliche Differentialgleichungen 193
B.1 Existenz und Eindeutigkeit von Anfangswertaufgaben 193
B.2 Attraktivität und Stabilität von Gleichgewichtspunkten 194
C Hopf-Verzweigung 196
Literaturverzeichnis 199
Sachverzeichnis 203