Eine verständliche und vollständige Einführung in die Mengentheoretische Topologie, die als Begleittext zu einer Vorlesung, aber auch zum Selbststudium für Studenten ab dem 3. Semester bestens geeignet ist. Zahlreiche Aufgaben ermöglichen ein systematisches Erlernen des Stoffes, wobei Lösungshinweise bzw. Musterlösungen zu ausgewählten Aufgaben bereitgestellt werden. Die Neuauflage wird ergänzt durch fünf Kapitel über topologische Strukturen in topologischen Gruppen sowie einen Abschnitt über die historischen Entwicklungen der Mengentheoretischen Topologie und dertopologischen Gruppen.
/ AUS DEM INHALT: / / /
0 Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen 1
1 Metrische Räume 7
A Grundlegende Definitionen und Beispiele 7
B Offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen 9
C Stetige Abbildungen 11
D Konvergente Folgen 15
E Trennungseigenschaften in Metrischen Räumen 17
Aufgaben 18
2 Topologische Räume und stetige Abbildungen 21
A Topologische Räume 21
B Umgebungen 25
C Stetige Abbildungen 29
Aufgaben 33
3 Erzeugung topologischer Räume 37
A Unterraumtopologie, Produkttopologie 37
B Initialtopologie 42
C Finaltopologie, Quotiententopologie 44
D Identifizierungstopologie, Zusammenkleben von topologischen Räumen 45
E Mannigfaltigkeiten und topologische Gruppen 52
Aufgaben 57
4 Zusammenhängende Räume 63
A Zusammenhängende Räume 63
B Wegzusammenhang, Lokaler Zusammenhang 69
Aufgaben 70
5 Filter und Konvergenz 73
A Folgen 73
B Netze 75
C Filter .' 77
Aufgaben 80
6 Trennungseigenschaften 83
A Trennungseigenschaften topologischer Räume 83
B Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften 88
C Fortsetzung stetiger Abbildungen 92
Aufgaben 94
7 Normale Räume 95
A Das Lemma von Urysohn 95
B Fortsetzung stetiger Abbildungen 98
C Lokal-endliche Systeme und Partitionen der Eins 100
Aufgaben 103
8 Kompakte Räume 105
A Kompakte Räume 105
B Lokalkompakte Räume 109
C Andere Kompaktheitsbegriffe 112
Aufgaben 115
9 Satz von Stone-Weierstraß 119
Aufgaben 124
10 Parakompakte Räume und Metrisationssätze 127
A Parakompakte Räume 127
B Metrisationssätze 131
Aufgaben 134
11 Uniforme Räume 135
A Uniforme Räume 135
B Gleichmäßig stetige Abbildungen 141
C Konstruktion uniformer Räume 142
D Uniformisierung 145
Aufgaben 150
12 Vervollständigung und Kompaktifizierung 153
A Vervollständigung uniformer Räume 153
B Kompaktifizierung vollständig regulärer Räume 160
Aufgaben 165
13 Vollständige, Polnische und Baire'sche Räume 167
A Vollständige Räume 167
B Vollständige metrische Räume 169
C Polnische Räume 171
D Baire'sche Räume 173
E Anwendungen des Baire'schen Satzes 176
Aufgaben 179
14 Funktionenräume 183
A Die uniforme Struktur der 5-Konvergenz 183
B Kompakt-offene Topologie 188
C Gleichgradige Stetigkeit und Satz von Arzela-Ascoli 191
Aufgaben 195
15 Ringe stetiger, reellwertiger Funktionen 197
A Z-Mengen und Z-Filter 197
B Stone-Cech-Kompaktifizierung 201
Aufgaben 205
16 Topologische Gruppen 207
A Grundbegriffe der Gruppentheorie 207
B Topologische Gruppen 213
C Untergruppen und Quotientengruppen " 220
Aufgaben 226
17 Zur Integrationstheorie 231
A Integral 231
B Messbare Mengen 235
C Reelle Lp-Räume 237
D Der duale Raum zu Lp 239
E Integration auf lokalkompakten Räumen 243
F Komplexwertige reguläre Maße 246
Aufgaben 249
18 Banachräume und Banachalgebren 251
A Banachräume 251
B Beschränkte lineare Transformationen 253
C Lineare Funktionale und der konjugierte Raum 256
D Maximale Ideale in Ringen und Algebren 260
E Spektrum, Inverse und Adverse 262
F Gelfand'sche Theorie kommutativer Banachalgebren 264
Aufgaben 267
19 Invariante Integration auf lokalkompakten Gruppen 269
A Konstruktion des Haar'schen Integrales 269
B Faltung und 1. Eindeutigkeitsbeweis 276
C 2. Eindeutigkeitsbeweis nach Weil-von Neumann 280
D Eigenschaften des Haar'schen Integrales 282
E Die Modulfunktion 283
F Die Gruppenalgebra 287
Aufgaben 294
20 Die duale Gruppe 299
A Die Charaktergruppe 299
B Die Charaktere lokalkompakter abelscher Gruppen 307
C Die Fourier-Stieltjes Transformierten 309
D Positiv-definite Funktionen und Inversionssatz 313
E Pontryagin'scher Dualitätssatz und Anwendungen 322
Aufgaben 324
21 Zur historischen Entwicklung der mengentheoretischen Topologie 327
A Anmerkungen zu Kapitel 1-3 327
B Anmerkungen zu Kapitel 4, 6-8 328
C Anmerkungen zu Kapitel 5 331
D Anmerkungen zu Kapitel 10 331
E Anmerkungen zu Kapitel 9, 11 und 14 332
F Anmerkungen zu Kapitel 12, 13 und 15 333
Diagramm 335
Literaturverzeichnis 337
Index 343
Symbole 351