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Verlagstext:

Das Buch bietet eine Einführung in die Topologie, Differentialtopologie und Differentialgeometrie. Es basiert auf Manuskripten, die in verschiedenen Vorlesungszyklen erprobt wurden. Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe und Resultate aus der mengentheoretischen Topologie bereitgestellt. Eine Ausnahme hiervon bildet der Jordansche Kurvensatz, der für Polygonzüge bewiesen wird und eine erste Idee davon vermitteln soll, welcher Art tiefere topologische Probleme sind. Im zweiten Kapitel werden Mannigfaltigkeiten und Liesche Gruppen eingeführt und an einer Reihe von Beispielen veranschaulicht. Diskutiert werden auch Tangential- und Vektorraumbündel, Differentiale, Vektorfelder und Liesche Klammern von Vektorfeldern. Weiter vertieft wird diese Diskussion im dritten Kapitel, in dem die de Rhamsche Kohomologie und das orientierte Integral eingeführt und der Brouwersche Fixpunktsatz, der Jordan-Brouwersche Zerlegungssatz und die Integralformel von Stokes bewiesen werden. Das abschließende vierte Kapitel ist den Grundlagen der Differentialgeometrie gewidmet. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in Euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Zusammenhänge und Krümmung, die zentralen Konzepte der Differentialgeometrie, diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension.

Das Buch richtet sich in erster Linie an Mathematik- und Physikstudenten im zweiten und dritten Studienjahr und ist als Vorlage für ein- oder zweisemestrige Vorlesungen geeignet.

 

/ AUS DEM INHALT: / / /

1 Erste Schritte in die Topologie 1

1.1 Topologische Räume 1

1.2 Stetige Abbildungen 5

1.3 Konvergenz und hausdorffsche Räume 6

1.4 Neues aus Altem 7

1.5 Zusammenhang und Wegzusammenhang 9

1.6 Kompakte Räume 14

1.7 Der Jordan'sche Kurvensatz 18

1.8 Ergänzende Literatur 22

1.9 Aufgaben 22

2 Mannigfaltigkeiten 25

2.1 Mannigfaltigkeiten und glatte Abbildungen 25

2.2 Tangentialvektoren und Ableitungen 38

2.3 Untermannigfaltigkeiten 47

2.4 Tangentialbündel und Vektorfelder 52

2.5 Vektorbündel und Schnitte 56

2.6 Ergänzende Literatur 59

2.7 Aufgaben 59

3 Differentialformen und Kohomologie 65

3.1 Pfaff 'sehe Formen 65

3.2 Differentialformen 68

3.3 De Rham'sche Kohomologie 72

3.4 Das Poincare-Lemma 74

3.5 Mayer-Vietoris-Sequenz und Fixpunktsatz von Brouwer 78

3.6 Orientierungen und Satz von Jordan-Brouwer 81

3.7 Orientiertes Integral und Integralformel von Stokes 85

3.8 Ergänzende Literatur 91

3.9 Aufgaben 91

4 Geometrie von Untermannigfaltigkeiten 95

4.1 Kurven 96

4.2 Innere Geometrie 108

4.3 Äußere Geometrie 123

4.4 Gauß-Gleichungen und Theorema egregium 133

4.5 Ergänzende Literatur 139

4.6 Aufgaben 140

A Alternierende Multilinearformen 145

B Kokettenkomplexe 151