Komplexe Zahlen eignen sich in herausragender Weise zur Algebraisierung von Problemen der ebenen Geometrie. Das Buch verbindet Algebra, Zahlentheorie und Geometrie unter Einbeziehung mathematikhistorischer Aspekte. Komplexe Zahlen erweisen sich nicht nur als geeignetes Mittel zum Lösen von Gleichungen in der Mathematik und zum Mathematisieren von Problemen aus Physik und Technik. Als Vektoren in der Ebene wie auch als Drehstreckung dienen sie ebenso der Veranschaulichung geometrischer Objekte.
Dieses Buch führt in die Arithmetik komplexer Zahlen ein, und behandelt ihre Rolle sowohl beim Lösen von Gleichungen wie auch in der Geometrie der Ebene. Dabei werden ebenfalls Bezüge zur historischen Entwicklung zentraler mathematischer Resultate thematisiert. Übungsaufgaben mit Lösungen zu jedem Kapitel sowie ein Anhang zum Rechnen mit komplexen Zahlen und konformen Abbildungen in MAPLE komplettieren das Lehrbuch. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort v
1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung 1
1.1 Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen 1
1.2 Die komplexen Zahlen 6
1.3 Rechnen im Körper (C, +, o) 10
Aufgaben 11
1.4 Die Gaußsche Zahlenebene 12
1.5 Die Betragsfunktion in C 12
1.6 Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene 15
Aufgaben 22
1.7 Polarkoordinatendarstellung 23
1.8 Die Formeln von Moivre und Euler 26
1.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene 31
1.10 Spiralen 37
1.11 Komplexe Zahlen und Fraktale 41
Aufgaben 46
2 Primzahlen im Komplexen 49
2.1 Die Menge der ganzen Gaußschen Zahlen 49
2.2 Norm und Einheiten 50
2.3 Die Gaußschen Primzahlen 51
2.4 Division mit Rest im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen 54
2.5 Primfaktorzerlegung in G 56
Aufgaben 57
3 Lösungen algebraischer Gleichungen 59
3.1 Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen 59
3.2 Allgemeine Wurzeln 64
3.3 Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1 66
Aufgaben 70
3.4 Kubische Gleichungen 72
3.5 Ausblick 84
3.6 Lösungen der Gleichung 4. Grades 85
Aufgaben 87
4 Fundamentalsatz der Algebra 89
4.1 Die Problemstellung 89
4.2 Der Fundamentalsatz der Algebra 90
4.3 Die Bedeutung des Fundamentalsatzes 97
Aufgaben 100
5 Riemannsche Kugel 101
5.1 Einleitung 101
5.2 Stereografische Projektion 102
5.3 Eigenschaften der stereografischen Projektion 103
5.4 Darstellung einer Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel - ein Beispiel 108
Aufgaben 108
6 Komplexe Funktionen 111
6.1 Begriffsbildung 111
6.2 Differenzieren von komplexen Funktionen 113
6.3 Konforme Abbildungen 116
Aufgaben 120
7 Gebrochen lineare Funktionen 121
7.1 Ganze lineare Funktionen 122
7.2 Die Inversion 125
7.3 Spiegelung am Kreis und hyperbolische Fraktal-Ornamente 131
7.4 Kurvenverwandtschaft bei der Inversion y = l/z 133
7.5 Gebrochen lineare Funktionen: Möbiustransformationen 136
7.6 Das Doppelverhältnis 143
7.7 Normalform der Möbiustransformation mit zwei Fixpunkten 144
7.8 Möbius-Transformationen auf der Riemannschen Kugel 148
Aufgaben 150
8 Die Jukowski-Funktion und die Funktion w = z2 153
9 Komplexe Zahlen und Konforme Abbildungen mit MAPLE 159
Lösungen zu den Aufgaben 169