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Perlen der Mathematik

20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen
Verfasser*in: Suche nach Verfasser*in Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B.
Verfasser*innenangabe: Claudi Alsina ; Roger B. Nelsen. Aus dem Engl. übers. von Thomas Filk. [MAA]
Jahr: 2015
Verlag: Berlin [u.a.], Springer Spektrum
Mediengruppe: Buch
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Inhalt

Darstellung zahlreicher bei der Visualisierung bestimmter mathematischer Beweise zur Anwendung kommender geometrischer Figuren und der mit ihnen verbundenen Mathematik.
 
 
 
Dieses Buch handelt von 20 geometrischen Figuren (Icons), die eine wichtige Rolle bei der Veranschaulichung mathematischer Beweise spielen. Alsina und Nelsen untersuchen die Mathematik, die hinter diesen Figuren steckt und die sich aus ihnen ableiten lässt.
Jedem in diesem Buch behandelten Icons ist ein eigenes Kapitel gewidmet, in dem sein Alltagsbezug, seine wesentlichen mathematischen Eigenschaften sowie seine Bedeutung für visuelle Beweise vieler mathematischer Sätze betont werden. Diese Sätze umfassen unter anderem auch klassische Ergebnisse aus der ebenen Geometrie, Eigenschaften der natürlichen Zahlen, Mittelwerte und Ungleichungen, Beziehungen zwischen Winkelfunktionen, Sätze aus der Differenzial- und Integralrechnung sowie Rätsel aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik. Darüber hinaus enthält jedes Kapitel eine Auswahl an Aufgaben, anhand derer die Leser weitere Eigenschaften und Anwendungen der Diagramme erkunden können.
Das Buch ist für alle geschrieben, die Freude an der Mathematik haben; Lehrkräfte und Dozenten der Mathematik werden in diesem Buch sehr nützliche Beispiele für Problemlösungen sowie umfangreiches Unterrichts- und Seminarmaterial zu Beweisen und mathematischer Argumentation finden.
 
 
 
 
Claudi Alsina wurde 1952 in Barcelona, Spanien, geboren. Nach seinem Bachelor promovierte er an der Universität von Barcelona in Mathematik. Im Anschluss verbrachte er einige Zeit an der University of Massachusetts in Amherst. Als Professor für Mathematik an der Technischen Universität von Katalonien ist er an vielen internationalen Aktivitäten beteiligt, hat etliche Bücher und unzählige Forschungsarbeiten veröffentlicht und mehrere Hundert Vorträge zur Mathematik und speziell auch zur mathematischen Ausbildung gehalten. In deutscher Übersetzung ist von ihm (und Roger B. Nelsen) das Werk „Bezaubernde Beweise“ im gleichen Verlag erschienen.
Roger B. Nelsen wurde 1942 in Chicago, Illinois, geboren. Seinen B.A. in Mathematik erhielt er 1964 von der DePauw University und 1969 promovierte er in Mathematik an der Duke University. Er ist gewähltes Mitglied der akademischen Phi-Beta-Kappa-Gesellschaft sowie der wissenschaftlichen Vereinigung Sigma Xi und unterrichtete rund vierzig Jahre Mathematik und Statistik am Lewis & Clark College bevor er im Jahre 2009 in den Ruhestand ging. Er hat etliche mathematische Werke geschrieben, allein und u.a. mit Claudi Alsina.
 
 
 
 
 
 
/ AUS DEM INHALT: / / /
 
 
1 Der Stuhl der Braut 1
 
1.1 Der Satz des Pythagoras - Euklids und andere Beweise 2
 
1.2 Die Vecten-Figur 4
 
1.3 Der Kosinussatz 7
 
1.4 Der Satz von Grebe und die Erweiterung von van Lamoen ... 7
 
1.5 Pythagoras und Vecten in der Unterhaltungsmathematik .... 9
 
1.6 Aufgaben 11
 
 
 
2 Das Zhoubi suanjing 15
 
2.1 Der Satz des Pythagoras - ein Beweis aus dem alten China 16
 
2.2 Zwei klassische Ungleichungen 17
 
2.3 Zwei trigonometrische Gleichungen 18
 
2.4 Aufgaben 19
 
 
 
3 Das Trapez von Garfield 21
 
3.1 Der Satz des Pythagoras - der Präsidenten-Beweis 22
 
3.2 Ungleichungen und das Trapez von Garfield 22
 
3.3 Trigonometrische Beziehungen und Identitäten 23
 
3.4 Aufgaben 26
 
 
 
4 Der Halbkreis 29
 
4.1 Der Satz des Thaies 30
 
4.2 Der Höhensatz von Euklid und der geometrische Mittelwert . . 31
 
4.3 Der Halbkreis von Königin Dido 32
 
4.4 Die Halbkreise des Archimedes 34
 
4.5 Pappos und der harmonische Mittelwert 37
 
4.6 Weitere Identitäten für Winkelfunktionen 38
 
4.7 Flächen und Umfange regulärer Vielecke 39
 
4.8 Euklids Konstruktion der fünf platonischen Körper 40
 
4.9 Aufgaben 41
 
 
 
5 Ähnliche Figuren 43
 
5.1 Der Strahlensatz von Thaies 44
 
5.2 Der Satz des Menelaos 50
 
5.3 Reptiles 51
 
5.4 Nomothetische Funktionen 54
 
5.5 Aufgaben 56
 
 
 
6 Transversale des Dreiecks 59
 
6.1 Die Sätze von Ceva und Stewart 61
 
6.2 Seitenhalbierende und der Schwerpunkt 63
 
6.3 Höhen und der Höhenschnittpunkt 64
 
6.4 Winkelhalbierende und der Inkreismittelpunkt 66
 
6.5 Der Umkreis und sein Mittelpunkt 68
 
6.6 Transversale ohne gemeinsamen Schnittpunkt 69
 
6.7 Der Satz von Ceva für Kreise 70
 
6.8 Aufgaben 71
 
 
 
7 Das rechtwinklige Dreieck 75
 
7.1 Rechtwinklige Dreiecke und Ungleichungen 76
 
7.2 Inkreis, Umkreis und Ankreise 77
 
7.3 Transversale in rechtwinkligen Dreiecken 81
 
7.4 Eine Charakterisierung pythagoreischer Tripel 83
 
7.5 Einige Identitäten und Ungleichungen für Winkelfunktionen 84
 
7.6 Aufgaben 85
 
 
 
8 Napoleonische Dreiecke 89
 
8.1 Der Satz von Napoleon 90
 
8.2 Das Dreiecksproblem von Fermat 91
 
8.3 Flächenbeziehungen zwischen Napoleonischen Dreiecken ... 93
 
8.4 Der Satz von Escher 96
 
8.5 Aufgaben 97
 
 
 
9 Bögen und Winkel 101
 
9.1 Winkel und Winkelmessung 102
 
9.2 Winkel in Kreisen 105
 
9.3 Die Potenz eines Punktes 107
 
9.4 Der Euler'sche Dreieckssatz 109
 
9.5 Der Taylor-Kreis 110
 
9.6 Die orthoptische Kurve einer Ellipse III
 
9.7 Aufgaben 112
 
 
 
10 Vielecke mit Kreisen 115
 
10.1 Sehnenvierecke 116
 
10.2 Sangaku und der Satz von Carnot 119
 
10.3 Tangenten-und Sehnen-Tangentenvierecke 122
 
10.4 Der Satz von Fuß 123
 
10.5 Der Schmetterlingssatz 125
 
10.6 Aufgaben 126
 
 
 
11 Zwei Kreise 129
 
11.1 Der Augapfelsatz 130
 
11.2 Aus Kreisen abgeleitete Kegelschnitte 131
 
11.3 Gemeinsame Sehnen 133
 
11.4 Vesica Piscis - die Fischblase 135
 
11.5 Die Vesica Piscis und der Goldene Schnitt 136
 
11.6 Sicheln 137
 
11.7 Das Mondsichelrätsel 138
 
11.8 Das Problem von Mrs. Miniver 139
 
11.9 Konzentrische Kreise 140
 
11.10 Aufgaben 142
 
 
 
12 Venn-Diagramme 147
 
12.1 Sätze zu drei Kreisen 148
 
12.2 Dreiecke und sich schneidende Kreise 151
 
12.3 Reuleaux-Vielecke 153
 
12.4 Aufgaben 156
 
 
 
13 Überlappende Figuren 159
 
13.1 Der Teppich-Satz 160
 
13.2 Die Irrationalität von y/2 und V3 161
 
13.3 Eine Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln 162
 
13.4 Ungleichungen zwischen Mittelwerten 163
 
13.5 Die Tschebyschow-Ungleichung 164
 
13.6 Summen von dritten Potenzen 165
 
13.7 Aufgaben 165
 
 
 
14 Yin und Yang 169
 
14.1 Die große Monade 170
 
14.2 Kombinatorik mit Yin und Yang 172
 
14.3 Integration mithilfe der Symmetrie des Yin und Yang 174
 
14.4 Yin und Yang zur Unterhaltung 175
 
14.5 Aufgaben 177
 
 
 
15 Polygonzüge 179
 
15.1 Geraden und Strecken 180
 
15.2 Polygonalzahlen 182
 
15.3 Polygonzüge in der Integralrechnung 184
 
15.4 Konvexe Vielecke 185
 
15.5 Polygonale Zykloiden 188
 
15.6 Polygonale Kardioiden 192
 
15.7 Aufgaben 194
 
 
 
16 Sternpolygone 197
 
16.1 Die Geometrie von Sternpolygonen 198
 
16.2 Das Pentagramm 202
 
16.3 Der Davidstern 204
 
16.4 Der Lakshmi-Stern und das Oktagramm 207
 
16.5 Sternpolygone in der Unterhaltungsmathematik 210
 
16.6 Aufgaben 213
 
 
 
17 Selbstähnliche Figuren 217
 
17.1 Geometrische Reihen 218
 
17.2 Iteratives Wachstum von Figuren 220
 
17.3 Lässt sich Papier zwölfmal durch Falten halbieren? 222
 
17.4 Die Spira Mirabilis 223
 
17.5 Der Menger-Schwamm und der Sierpinski-Teppich 225
 
17.6 Aufgaben 226
 
 
 
18 Tatami 229
 
18.1 Der Satz des Pythagoras - Beweis von Bhäskara 230
 
18.2 Tatamimatten und Fibonacci-Zahlen 232
 
18.3 Tatamimatten und Darstellungen von Quadratzahlen 233
 
18.4 Tatami-Ungleichungen 235
 
18.5 Verallgemeinerte Tatamimatten 236
 
18.6 Aufgaben 237
 
 
 
19 Rechtwinklige Hyperbeln 241
 
19.1 Eine Kurve, viele Definitionen 243
 
19.2 Die rechtwinklige Hyperbel und ihre Tangenten 244
 
19.3 Ungleichungen für natürliche Logarithmen 245
 
19.4 Der Sinus und Kosinus Hyperbolicus 248
 
19.5 Die Reihe der Kehrwerte der Dreieckszahlen 249
 
19.6 Aufgaben 249
 
 
 
20 Parkettierung 251
 
20.1 Gittermultiplikation 252
 
20.2 Parkettierung als Beweisverfahren 253
 
20.3 Parkettierung eines Rechtecks mit Rechtecken 254
 
20.4 Der Satz des Pythagoras - unendlich viele Beweise 255
 
20.5 Aufgaben 257
 
 
 
21 Lösungen zu den Aufgaben 259
 
21.1 Kapitel 1 259
 
21.2 Kapitel 2 261
 
21.3 Kapitel 3 262
 
21.4 Kapitel 4 265
 
21.5 Kapitel 5 268
 
21.6 Kapitel 6 270
 
21.7 Kapitel 7 274
 
21.8 Kapitel 8 278
 
21.9 Kapitel 9 281
 
21.10 Kapitel 10 283
 
21.11 Kapitel 11 285
 
21.12 Kapitel 12 288
 
21.13 Kapitel 13 290
 
21.14 Kapitel 14 292
 
21.15 Kapitel 15 294
 
21.16 Kapitel 16 295
 
21.17 Kapitel 17 299
 
21.18 Kapitel 18 301
 
21.19 Kapitel 19 302
 
21.20 Kapitel 20 303
 
 
 
Literatur 307
 
 
 
Sachverzeichnis 313
 

Details

Verfasser*in: Suche nach Verfasser*in Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B.
Verfasser*innenangabe: Claudi Alsina ; Roger B. Nelsen. Aus dem Engl. übers. von Thomas Filk. [MAA]
Jahr: 2015
Verlag: Berlin [u.a.], Springer Spektrum
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ISBN: 978-3-662-45460-2
2. ISBN: 3-662-45460-2
Beschreibung: XIII, 317 S. : Ill., graph. Darst.
Schlagwörter: Beispielsammlung, Beweis, Geometrische Figur, Beweise, Demonstratio propter quid, Demonstratio quia, Geometrischer Ort
Beteiligte Personen: Suche nach dieser Beteiligten Person Filk, Thomas [Übers.]
Fußnote: Literaturangaben
Mediengruppe: Buch