Der Band behandelt die ebenso elegante wie mächtige Theorie der Symmetriegruppen und deren Anwendung in der Quantenmechanik und der Theorie der Elementarteilchen. Anhand vieler Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen wird die Anwendung der grundlegenden Prinzipien auf realistische Probleme verdeutlicht.Die Themen sind:- Symmetrien in der Quantenmechanik- Darstellungen der Algebra der Drehimpulsoperatoren: Die Erzeuger der Gruppe SO(3)- Mathematische Ergänzung: Grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen- Symmetriegruppen und ihre physikalische Bedeutung: Allgemeine Betrachtungen- Die Isopin-Gruppe- Die Hyperladung- Die Symmetriegruppe SU(3)- Quarks und die Symmetriegruppe SU(3)- Darstellungen der Permutationsgruppe und Young-Tableaux- Mathematische Ergänzung: Gruppen-Charaktere- Charm und die Symmetriegruppe SU(4)- Mathematische Ergänzung: Cartan-Weyl-Klassifizierung von Lie-Algebren- Spezielle diskrete Symmetrien- Dynamische Symmetrien und das Wasserstoffatom- Mathematische Ergänzung: Nicht-kompakte Lie-Gruppen- Ein Beweis des Racah'schen Theorems.
/ AUS DEM INHALT: / / /
I Symmetrien in der Quantenmechanik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1 Symmetrien in der klassischen Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Raumverschiebungen in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Der unitäre Verschiebungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Die Bewegungsgleichung für räumlich verschobene Zustände . . . 20
5 Symmetrie und Entartung von Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Zeitverschiebungen in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Definition einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Rotationen und ihre Gruppeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 Ein Isomorphismus der Rotationsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10 Infinitesimale und endliche Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Die Isotropie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Der Drehoperator für Vielteilchenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II Drehimpulsalgebra und Darstellung der Drehimpulsoperatoren : : 53
13 Irreduzible Darstellungen der Rotationsgruppe . . . . . . . . . . . . . . 53
14 Matrixdarstellungen der Drehimpulsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . 58
15 Die Addition von zwei Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
16 Berechnung von Clebsch-Gordan-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . 70
17 Rekursionsformeln für Clebsch-Gordan-Koeffizienten . . . . . . . . . 71
18 Explizite Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten . . . . . . 72
III Mathematische Ergänzung: Elementares über Lie-Gruppen : : : : : 81
19 Allgemeine Struktur von Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
20 Kommutatoren als verallgemeinerte Vektorprodukte . . . . . . . . . . 91
21 Algebraische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
22 Kompakte Lie-Gruppen und Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
23 Invariante Operatoren (Casimir-Operatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . 100
24 Racah'sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
25 Erläuterungen zu Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
26 Invarianz unter einer Symmetriegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
27 Konstruktion des invarianten Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
28 Casimir-Operatoren Abel'scher Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 109
29 Vollständigkeitsrelation für Casimir-Operatoren . . . . . . . . . . . . . 110
30 Zusammenstellung einiger Gruppen und ihrer Eigenschaften . . . . 111
31 Koordinatentransformationen und Funktionstransformationen . . . 112
IV Symmetriegruppen und ihre physikalische Bedeutung : : : : : : : : 125
32 Symmetrien des Hamilton-Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
33 Multiplett-Struktur der Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
34 Massenentartung innerhalb von Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
V Die Isospingruppe (Isobarenspin) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131
35 Isospin als Eigenschaft der Nukleonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
36 Isospin-Operatoren für ein Vielnukleonensystem . . . . . . . . . . . . . 137
37 Darstellungen einer Lie-Algebra - Allgemeines . . . . . . . . . . . . . 144
38 Reguläre (oder adjungierte) Darstellung einer Lie-Algebra . . . . . 145
39 Transformationsgesetz für Isospin-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 149
40 Experimenteller Test der Isospin-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
VI Die Hyperladung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 173
41 Vom Isospin zur Hyperladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
42 Isospin und Hyperladung von Antiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
VII Die SU(3)-Symmetrie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
43 Die Gruppen U(n) und SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
44 Die Generatoren der SU(3)-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
45 Die Lie-Algebra der SU(3)-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
46 Unteralgebren der SU(3) und Schiebeoperatoren . . . . . . . . . . . . . 196
47 Kopplung von T-, U- und V-Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
48 Quantitative Abrundung unserer Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . 200
49 Geometrische Gestalt eines SU(3)-Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . 202
50 Anzahl der Zustände auf Gitterpunkten innerer Schalen . . . . . . . . 203
VIII Quarks und die Gruppe SU(3) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 215
51 Quarks als kleinste nichttriviale Darstellung der SU(3) . . . . . . . . 215
52 Suche nach Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
53 Die Transformationseigenschaften der Quark-Zustände . . . . . . . . 219
54 Konstruktion von SU(3)-Multipletts aus elementaren Darstellungen . . . 225
55 Aufbau der Darstellungen D(p, q) aus Quarks und Antiquarks . . . 227
56 Mesonen-Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
57 Regeln für die Reduktion direkter Produkte von SU(3)-Multipletts 243
58 U-Spin-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
59 Test der U-Spin-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
60 Die Gell-Mann-Okubo-Massenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
61 Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten der SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . 254
62 Quarkmodelle mit inneren Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
63 Die Massenformel in der SU(6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
64 Magnetische Momente im Quarkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
65 Angeregte mesonische und baryonische Zustände . . . . . . . . . . . . 288
IX Darstellungen der Permutationsgruppe und Young-Tableaux : : : : 295
66 Die Permutationsgruppe und identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . 295
67 Die Standard-Anordnung der Young-Tableaux . . . . . . . . . . . . . . 299
68 Irreduzible Darstellungen der Permutationsgruppe SN . . . . . . . . . 302
69 Der Zusammenhang zwischen SU(2) und S2 . . . . . . . . . . . . . . . . 311
70 Die irreduziblen Darstellungen der SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
71 Bestimmung der Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
72 Die SU(n ?? 1)-Untergruppen von SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
73 Zerlegung des Tensorproduktes zweier Multipletts . . . . . . . . . . . 326
X Mathematische Ergänzung: Gruppencharaktere : : : : : : : : : : : : : : 331
74 Definition von Gruppencharakteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
75 Die Schur'schen Lemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
76 Orthogonalitätsrelationen für Darstellungen diskreter Gruppen . . 333
77 Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
78 Orthogonalitätsrelationen der Gruppencharaktere . . . . . . . . . . . . 337
79 Gruppencharaktere am Beispiel der Gruppe D(3) . . . . . . . . . . . . 338
80 Reduktion einer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
81 Kriterium für Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
82 Direktes Produkt von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
83 Erweiterung auf kontinuierliche kompakte Gruppen . . . . . . . . . . 341
84 Mathematischer Exkurs: Gruppenintegration . . . . . . . . . . . . . . . . 342
85 Unitäre Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
86 Der Übergang von U(N) nach SU(N) am Beispiel der SU(3) . . . . 345
87 Integration über unitäre Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
88 Gruppencharaktere der unitären Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
XI Charm und SU(4) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 369
89 Die Entdeckung des Charm-Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
90 Teilchen mit Charm und die SU(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
91 Die Gruppeneigenschaften der SU(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
92 Strukturkonstanten fi jk und Koeffizienten di jk für SU(4) . . . . . . . 379
93 Multiplettstruktur der SU(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
94 Zerfall der Mesonen mit verborgenem Charm . . . . . . . . . . . . . . . 390
95 Zerfall von Mesonen mit offenem Charm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
96 Baryonen-Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
97 Das Potentialmodell des Charmoniums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
98 Die SU(4) [SU(8)]-Massenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
99 Die _-Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
100 Das Quark-Modell und das Top-Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
XII Mathematische Ergänzungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 419
101 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
102 Wurzelvektoren und klassische Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 423
103 Skalarprodukte von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
104 Cartan-Weyl-Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
105 Graphische Darstellung der Wurzelvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 431
106 Lie-Algebra vom Rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
107 Lie-Algebren vom Rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
108 Lie-Algebren vom Rang l > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
109 Die besonderen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
110 Einfache Wurzeln und Dynkin-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
111 Die Dynkin'sche Vorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
112 Die Cartan'sche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
113 Bestimmung aller Wurzeln aus den einfachen Wurzeln . . . . . . . . 440
114 Zwei einfache Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
115 Die Darstellungen der klassischen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . 443
XIII Spezielle diskrete Symmetrien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 449
116 Raumspiegelung (Paritätstransformation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
117 Gespiegelte Zustände und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
118 Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
119 Antiunitäre Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
120 Mehrteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
121 Reelle Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
XIV Dynamische Symmetrien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 461
122 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
123 Die Gruppe SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
124 Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
125 Der klassische isotrope Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
126 Der quantenmechanische isotrope Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . 467
XV Mathematische Ergänzung: Nichtkompakte Lie-Gruppen : : : : : : : 481
127 Definition und Beispiele nichtkompakter Lie-Gruppen . . . . . . . . 481
128 Die Lie-Gruppe SO(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
129 Anwendung auf Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
XVI Beweis des Racah'schen Theorems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 495
130 Racah'sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 503