Dieses Lehrbuch gehört mit seinem komprimierten, aber dennoch klaren Stil zu den Meisterwerken der mathematischen Lehrbuchliteratur. Der Verfasser behandelt mit methodisch-didaktischer Geschicklichkeit vollständig die Analysis einer und mehrerer Variablen. Dabei bietet Rudins "Analysis" viele Besonderheiten: So werden z.B. das Riemann-Stieltjes-Integral, die Lebesgue'sche Theorie, die Gamma-Funktion, Differentialformen oder der Satz von Stone-Weierstraß sehr ausführlich besprochen. Damit zeichnet sich das Buch gegenüber anderen einführenden Analysisbüchern aus. Die profunde Darstellung auf hohem Niveau richtet sich vor allem an fortgeschrittene Mathematiker. Für Studenten im Hauptfach Mathematik ist das Buch eine Bereicherung und ein wertvolles Nachschlagewerk.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort V
Aus dem Vorwort zur 1. amerikanischen Auflage VI
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1
Einführung 1
Geordnete Mengen 3
Körper 5
Der Körper der reellen Zahlen 9
Die erweiterte reelle Zahlengerade 12
Der Körper der komplexen Zahlen 13
Euklidische Räume 17
Anhang 19
Übungsaufgaben 24
2 Einführung in die Topologie 27
Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen 27
Metrische Räume 34
Kompakte Mengen 41
Vollkommene Mengen 46
Zusammenhängende Mengen 48
Übungsaufgaben 49
3 Zahlenfolgen und Reihen 55
Konvergente Folgen 55
Teilfolgen 59
Cauchy-Folgen 60
Obere und untere Grenzwerte 63
Einige spezielle Folgen 65
Reihen 67
Reihen mit nichtnegativen Gliedern 69
Die Zahl e 72
Das Wurzel- und das Quotientenkriterium 74
Potenzreihen 78
Produkt von Partialsummen 79
Absolute Konvergenz 81
Addition und Multiplikation von Reihen 81
Umordnungen 85
Übungsaufgaben 88
4 Stetigkeit 95
Grenzwerte von Funktionen 95
Stetige Funktionen 98
Setigkeit und Kompaktheit 102
Stetigkeit und Zusammenhang 106
Unstetigkeitsstellen 107
Monotone Funktionen 109
Unendliche Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen 111
Übungsaufgaben 112
5 Differentiation 119
Mittelwertsätze 122
Die Stetigkeit von Ableitungen 124
Die l'Hospitalsche Regel 125
Ableitungen höherer Ordnung 127
Der Taylorsche Satz 127
Differentiation von vektorwertigen Funktionen 128
Übungsaufgaben 131
6 Das Riemann-Stieltjes Integral 139
Definition und Existenz des Integrals 139
Eigenschaften des Integrals 148
Integration und Differentiation 155
Integration von vektorwertigen Funktionen 157
Rektifizierbare Kurven 158
Übungsaufgaben 160
7 Folgen und Reihen von Funktionen 167
Erörterung des Hauptproblems 167
Gleichmäßige Konvergenz 171
Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit 173
Gleichmäßige Konvergenz und Integration 176
Gleichmäßige Konvergenz und Differentiation 177
Gleichgradig stetige Familien von Funktionen 180
Der Satz von Stone-Weierstraß 185
Übungsaufgaben 192
8 Einige spezielle Funktionen 201
Potenzreihen 201
Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion 208
Die trigonometrischen Funktionen 212
Die algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Körpers 215
Fourier-Reihen 216
Die Gammafunktion 224
Übungsaufgaben 229
9 Funktionen mehrerer Variablen 239
Lineare Abbildungen 239
Differentiation 247
Das Kontraktionsprinzip 257
Der Satz über Umkehrabbildungen 258
Der Satz über implizite Funktionen 261
Der Rangsatz 266
Determinanten 270
Ableitungen höherer Ordnung 274
Differentiation von Integralen 276
Übungsaufgaben 279
10 Integration von Differentialformen 287
Integration 287
Primitive Abbildungen 291
Partitionen der Eins 294
Die Substitutionsregel 295
Differentialformen 297
Simplexe und Ketten 312
Der Satz von Stokes 320
Geschlossene und exakte Formen 323
Vektoranalysis 330
Übungsaufgaben 339
11 Die Lebesguesche Theorie 353
Mengenfunktionen 353
Konstruktion des Lebesgueschen Maßes 355
Maßräume 364
Meßbare Funktionen 364
Einfache Funktionen 367
Integration 368
Vergleich mit dem Riemann-Integral 378
Integration komplexer Funktionen 381
Funktionen der Klasse C1 382
Übungsaufgaben 390
Literaturverzeichnis 393
Liste spezieller Symbole 395
Verfasser*innenangabe:
von Walter Rudin. [Übers.: Martin Lorenz und Christian Euler]
Jahr:
2009
Verlag:
München, Oldenbourg
Aufsätze:
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Systematik:
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ISBN:
978-3-486-58730-2
2. ISBN:
3-486-58730-7
Beschreibung:
4., verb. Aufl., X, 408 S.
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Originaltitel:
Principles of mathematical analysis <dt.>
Fußnote:
Aus dem Engl. übers.
Mediengruppe:
Buch