Suchen Sie nach einer Starthilfe für Ihr Bachelor- oder Lehramt-Mathematikstudium? Haben Sie mit dem Studium vielleicht schon begonnen und fühlen sich nun von Ihrem bisherigen Lieblingsfach eher verwirrt?
Keine Panik! Dieser freundliche Ratgeber wird Ihnen den Übergang in die Welt des mathematischen Denkens erleichtern.
Wenn Sie das Buch durcharbeiten, werden Sie mit einem Arsenal an Techniken vertraut, mit denen Sie sich Definitionen, Sätze und Beweise erschließen können. Sie lernen, wie man typische Aufgaben löst und mathematisch exakt formuliert.
Unter anderem sind alle wesentlichen Beweismethoden abgedeckt: direkter Beweis, Fallunterscheidungen, Induktion, Widerspruchsbeweis, Beweis durch Kontraposition. Da stets konkrete Beispiele den Stoff vertiefen, gewinnen Sie außerdem reichhaltige praktische Erfahrung mit Themen, die in vielen einführenden Vorlesungen nicht vorkommen: Äquivalenzrelationen, Injektivität und Surjektivität von Funktionen, Kongruenzrechnung, der euklidische Algorithmus, und vieles mehr.
An über 300 Übungsaufgaben können Sie Ihren Fortschritt überprüfen – so werden Sie schnell lernen, wie ein Mathematiker zu denken und zu formulieren. Studierende haben das Material über viele Jahre hinweg getestet.
Das Buch ist nicht nur unentbehrlich für jeden Studienanfänger der Mathematik, sondern kann Ihnen auch dann weiterhelfen, wenn Sie Ingenieurwissenschaften oder Physik studieren und einen Zugang zu den Themen des mathematischen Grundstudiums benötigen, oder wenn Sie sich mit Gebieten wie Informatik, Philosophie oder Linguistik beschäftigen, in denen Kenntnisse in Logik vorausgesetzt werden.
Kevin Houston lehrt und forscht an der Universität Leeds.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort 5
Aufbau und Themen des Buches 7
Einführung 13
Erster Abschnitt : Die Sprache der Mathematik 17
1.1 Mathematisches Argumentieren 19
Aussagen und Junktoren 19
Semantik der Junktoren 21
Aussagenlogische Beweismuster 27
Die Sprache der Mathematik 30
Aussagenlogische Tautologien 33
Quantorenregeln 35
Übungen 36
1.2 Mengen 41
Extensionalität 42
Komprehensionen mit Hilfe von Eigenschaften 43
Einfache Mengenbildungen 45
Operationen mit Mengen 46
Potenzmengen 48
Mengensysteme 49
Übungen 50
1.3 Relationen und Funktionen 55
Relationen und ihre Struktureigenschaften 55
Äquivalenzrelationen 57
Ordnungen 61
Funktionen 63
Wohldefiniertheit und Kongruenzrelationen 69
Isomorphismen 70
Übungen 72
Exkurs: Mächtigkeiten 77
Mächtigkeitsvergleiche 77
Der Satz von Cantor-Bernstein 78
Unendlichkeiten 81
Übungen 83
Zweiter Abschnitt : Zahlen 85
2.1 Natürliche Zahlen 87
Nachfolger und Induktion 87
Dedekind-Strukturen 88
Die Aridimetik der natürlichen Zahlen 92
Die Ordnung der natürlichen Zahlen 93
Starke Induktion und Prinzip des kleinsten Elements 94
Rekursive Funktionen und algorithmische Berechenbarkeit 95
Übungen 98
2.2 Ganze und rationale Zahlen 103
Konstruktion der ganzen Zahlen 103
Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen 105
Konstruktion der rationalen Zahlen 107
Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen 108
Körper 109
Angeordnete Körper 110
Übungen 111
2.3 Reelle und komplexe Zahlen 115
Obere Schranken und Suprema 115
Lineare Vollständigkeit 116
Konstruktion der reellen Zahlen 118
Das archimedische Axiom 120
Charakterisierung der reellen Zahlen 121
Komplexe Zahlen und Quaternionen 122
Übungen 128
Dritter Abschnitt: Erste Erkundungen 133
3.1 Teuer 135
Teilbarkeit 135
Größter gemeinsamer Teiler 137
Der Euklidische Algorithmus 140
Linearkombinationen 142
Primzahlen 144
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung 148
Übungen 151
3.2 Grenzwerte 157
Konvergente Folgen 157
Häufungspunkte 160
Reihen 162
Stetige Funktionen 164
Offene Mengen und Umgebungen 168
Metrische Vollständigkeit 171
Übungen 172
3.3 Matrizen 177
Vektoren 177
Lineare Gleichungssysteme 178
Das Gauß-Jordansche Eliminationsverfahren 182
Lineare Abbildungen 186
Matrizenmultiplikation 187
Relationen und Matrizen 188
Übungen 192
3.4 Gruppen 197
Der Begriff der Gruppe 197
Folgerungen aus den Gruppenaxiomen 200
Exponentiation und Vervielfachung 201
Untergruppen 202
Nebenklassen und Faktorgruppen 205
Der Satz von Lagrange 207
Übungen 208
3.5 Graphen 213
Endliche Graphen 213
Kantenzüge, Wege und Kreise 216
Erreichbarkeit und Zusammenhang 217
Eulerzüge 218
Erkundung eines Labyrinths 220
Hamiltonkreise 222
Übungen 224
3.6 Wahrscheinlichkeiten 229
Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume 229
Additivität und Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen 236
Summen als Integrale 238
Unabhängigkeit 240
Zufallsvariable 241
Das Gesetz der großen Zahl 244
Übungen 247
Lösungsvorschläge 253
1.1 Mathematisches Argumentieren 253
1.2 Mengen 256
1.3 Relationen und Funktionen 261
Literatur 265
Notationen 269
Index 271