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Grundlagen der Differenzialgleichungen für Dummies
[die Fertigkeiten zum Lösen von Differenzialgleichungen erwerben ; Die verschiedenen Zugänge zur Lösung kennen ; Einfache Differenzialgleichungen rechnerisch lösen]
VerfasserIn: Sigg, Timm
Verfasserangabe: Timm Sigg ; Fachkorrektur von Marianne Hammer-Altmann
Jahr: 2018
Verlag: Weinheim, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
Mediengruppe: Buch
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Inhalt
Differenzialgleichungen sind Ihnen ein Buch mit sieben Siegeln? Kein Problem! Im ersten Teil liefert Ihnen dieses Buch wirklich alles, was Sie an Handwerkszeug zum Lösen von Differenzialgleichungen benötigen. Anschließend erfahren Sie, was Differenzialgleichungen überhaupt sind und mit welchen Methoden man sie lösen kann. Im dritten Teil wird es ernst: Sie werden einfache Differenzialgleichungen rechnerisch lösen. Aber keine Sorge: Vielfältige Beispiele geben Ihnen die Gelegenheit, die Verfahren gründlich zu üben. Und damit Sie wissen, warum Sie sich all diesen Mühen unterziehen, werden Sie zuletzt auf berühmte Differenzialgleichungen aus Biologie, Chemie, Physik und Ökonomie treffen.
 
 
 
 
Aus dem Inhalt:
Einleitung 17 / Über dieses Buch 17 / Konventionen in diesem Buch 17 / Was Sie nicht lesen müssen 18 / Törichte Annahmen über die Leser 18 / Wie dieses Buch aufgebaut ist 19 / Teil I: Was Sie alles brauchen - die Zutaten 19 / Teil II: Was, bitteschön, sind Differenzialgleichungen? 19 / Teil III: Differenzialgleichungen - rechnerisch gelöst 20 / Teil IV: Die große weite Welt der Differenzialgleichungen 20 / Teil V: Der Top-Ten-Teil 20 / Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20 / Wie es weitergeht 21 // TEIL I / WAS SIE ALLES BRAUCHEN - DIE ZUTATEN 23 / Kapitel 1 / Elementare Funktionen - Elementares über Funktionen 25 / Was ist überhaupt eine Funktion? 25 / Polynome - anständige Funktionen 29 / So sehen sie aus 29 / Der Definitionsbereich 33 / Nullstellen von Polynomen - das Mitternachtskapitel 34 / Das Ausklammern - die Faktorzerlegung 34 / Verhalten von Polynomen für x gegen Unendlich 37 / Gebrochen rationale Funktionen - komplizierte Zeitgenossen 38 / Alles, was erlaubt ist, der Definitionsbereich 39 / Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner 40 / Wenn der Zähler Null wird, aber nicht der Nenner 42 / Wenn der Nenner Null wird, aber nicht der Zähler 42 / Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig Null werden 44 / Exponential- und Logarithmusfunktionen - wie Feuer und Wasser 47 / Die allgemeine Exponentialfunktion 48 / Der Logarithmus 50 / Die e-Funktion 52 / Definitions- und Wertebereich der e-Funktion 52 / Rechenbeispiele 55 / Trigonometrische Funktionen - ein ewiges Auf und Ab 58 / Grundlegendes über die Hauptdarsteller Sinus und Kosinus 58 / Spezielle Funktionswerte 60 / Die wichtigste Sinus-Kosinus-Formel der Welt 61 / Betragsfunktionen - sie sehen in allem nur das Positive 61 / Kreise und Ellipsen - jetzt geht's rund 64 / Kreise - runder geht's nicht 64 / Ellipsen - naja, bessere Eier halt 66 // Kapitel 2 / Strecken, spiegeln, schieben und schunkeln mit Funktionen 69 / Spieglein, Spieglein 70 / Symmetrien 70 / Rauf und runter 71 / Rechts und links 71 / Strecken und stauchen in y-Richtung 73 / Strecken und Stauchen in x-Richtung 74 / Alles zusammen 76 / Funktionenschar - die Blumensträuße unter den Funktionen 79 / Beispiele 80 // Kapitel 3 / Differenzieren - die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch 83 / Was ist denn eine Ableitung? 83 / Schreibweisen der ersten Ableitung 85 / Schreibweise der höheren Ableitungen 85 / Ableitungen der elementaren Funktionen 86 / Ableitungsregeln 89 / Summen- und Faktorregel 89 / Produktregel 89 / Quotientenregel 90 / Kettenregel 92 / Alles zusammen 98 / Noch ein letztes Beispiel 99 / Geometrische Bedeutung von fix), f i x ) und f i x ) 100 / f{x) und f i x ) - mal Hochgebirge, mal Sandstrand 100 / f i x ) - krumme Dinger 100 / Ganz besondere Punkte 103 / Hoch-, Tief- und Sattelpunkte 103 / Wendepunkte 106 // Kapitel 4 / Integrieren - genauso wichtig wie dasDifferenzieren 109 / Unbestimmtes Integral 109 / Schreibweise mit Schlangenzeichen 112 / Bestimmtes Integral 113 / Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 115 / Integration durch Substitution 116 / Substitution am bestimmten Integral 116 / Substitution am unbestimmten Integral 117 / Partielle Integration 118 / Partielle Integration - die Vorgehensweise 119 / Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 121 / Partialbruchzerlegung - die Vorgehensweise 121 / Numerisches Integrieren - so macht's der Computer 127 / Einfachste Näherung: Trapezregel 127 / Zweiteinfachste Näherung: Keplersche Fassregel 129 // Kapitel 5 / Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 131 / Welche Zahlen gibt es? 132 / Was sind komplexe Zahlen? 135 / Die drei Darstellungen 137 / Die kartesische Darstellung mit x und y 137 / Die Polardarstellung mit r, cp, Sinus und Kosinus 138 / Die exponentielle Darstellung mit r, cp und der e-Funktion 139 / Umrechnung der Darstellungen 139 / Umrechnung von exponentiell (beziehungsweise polar) in kartesisch 140 / Umrechnung von kartesisch in exponentiell (bzw. polar) 140 / Rechnen mit komplexen Zahlen 141 / Die konjugiert komplexe Zahl 142 / Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 143 / Das Multiplizieren komplexer Zahlen 143 / Das Dividieren komplexer Zahlen 144 / Das Potenzieren komplexer Zahlen mit reellen Potenzen 145 / Die n Lösungen der Gleichung zn = w 145 / Die 2 Lösungen der Mitternachtsformel 147 // Kapitel 6 / Nicht nur Angeber sagen Vektoren statt Pfeile 149 / Was hat es mit diesen Pfeilen auf sich? 150 / Vektoren addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren 152 / Addition von Vektoren 152 / Subtraktion von Vektoren 154 / Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 156 / Der Betrag eines Vektors 157 / Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt 159 / Das Skalarprodukt 159 / Das Vektorprodukt 162 // Kapitel 7 / Matrizen und nicht Matratzen 167 / Grundlegendes zu den Matrizen 168 / Besondere Matrizen 169 / Rechnen mit Matrizen 171 / Addieren und Subtrahieren von Matrizen 171 / Multiplizieren von Matrizen 172 / Transponieren von Matrizen 175 / Determinante 176 / Berechnung einer (2 x 2)-Determinante 176 / Berechnung einer (3 x 3)-Determinante 176 / Sarrus-Regel 177 / Berechnung einer (n x «)-Determinante 179 / Inverse Matrix 182 / Lineare Gleichungssysteme 184 // Kapitel 8 / Eigenwertprobleme sind keine Probleme 189 / Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 189 / Berechnung der Eigenwerte 190 / Berechnung von Eigenvektoren 192 / Berechnung reeller Eigenvektoren 192 / Berechnung komplexer Eigenvektoren 195 // TEIL II / WAS, BITTESCHÖN, SIND DIFFERENZIALGLEICHUNGEN? 197 / Kapitel 9 / Was sind Differenzialgleichungen? 199 / Zusammenhang zwischen Ableitungen, Steigungen, Krümmungen, Zu- und Abnahmen sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung 200 / Ort - Geschwindigkeit - Beschleunigung 202 / Differenzialgleichungen - Anfangswertprobleme - Randwertprobleme 209 / Unterschied zwischen der allgemeinen Lösung und der Lösung eines Anfangswertproblems 211 / Differenzialgleichungssysteme 212 / Gekoppelte Differenzialgleichungen 212 / Lineare Systeme - Matrizen 214 // Kapitel 10 / Für jede Differenzialgleichung gibt es eine passende Schublade 217 / Differenzialgleichungen klassifizieren 217 / Gewöhnlich / partiell 218 / Linearität 218 / Homogenität 219 / Ordnung 220 / Beispiele 221 / Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 222 // Kapitel 11 / Verschiedene Lösungsmethoden 225 / Ratender Zugang - nicht nur für Glücksspieler 226 / Grafischer Zugang - nicht nur für Grafikdesigner 228 / Numerischer Zugang - nicht nur für Numeriker 228 / Rechnerischer Zugang - nicht nur für Spitzenmathematiker 230 // Kapitel 12 / Grafischer Zugang zu Differenzialgleichungen erster Ordnung 231 / Das Richtungsfeld zeigt, wo's lang geht 231 / Erstes Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen 232 / Einmal rückwärts: Von der allgemeinen Lösung zur Differenzialgleichung 235 / Zweites Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen 237 / Drittes Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen 239 // TEIL III / DIFFERENZIALGLEICHUNGEN - RECHNERISCH GELÖST 241 / Kapitel 13 / Differenzialgleichungen erster Ordnung (homogen und inhomogen) 243 / Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 245 / Trennung der Variablen für homogene Differenzialgleichungen erster Ordnung 246 / Variation der Konstanten 250 / Berechnung der allgemeinen Lösung der linearen Differenzialgleichung erster Ordnung /( x ) + g(x) ¿ X *) - r(x ) 255 / Nichtlineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 259 / Lösen mittels TdV 260 // Kapitel 14 / Anfangswertprobleme in Handarbeit und mit Herrn Eulers Verfahren lösen 265 / Anfangswertprobleme sind auch keine Probleme 266 / Erstes Beispiel eines Anfangswertproblems 267 / Zweites Beispiel eines Anfangswertproblems 268 / Das Eulerverfahren - unglaublich, schon wieder Herr Euler! 269 / Anschauliche Beschreibung der Methode 269 / Die Methode in Formeln 270 / Beispiel für eine Anwendung des Eulerverfahrens 272 / Wettkampf: Hand gegen Rechner 273 / Die exakte Lösung von Hand 273 / Die Näherungslösung vom Rechner 274 / Der Vergleich 275 // Kapitel 15 / Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 277 / Grundlegendes und Wissenswertes 278 / Stufe 1: Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung 280 / Charakteristisches Polynom 281 / Stufe 2: Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung 289 / Ansatz für ^ (x ) 289 / Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz 294 / Beispiele - Beispiele - Beispiele 297 / Erstes Beispiel 297 / Abschließendes Beispiel der übleren Sorte 299 // Kapitel 16 / Differenzialgleichungssysteme 303 / Die Metamorphose: Verwandlung einer Differenzialgleichung in ein Differenzialgleichungssystem 304 / Beispiel 1 für die sagenhafte Umwandlung 304 / Beispiel 2 für die sagenhafte Umwandlung 305 / Lösen von linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 306 / Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden 308 / Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten 310 / Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten 312 / Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten 314 // Kapitel 17 / Anfangswertprobleme von Differenzialgleichungssystemen von Hand, mit Herrn Euler und MATLAB gelöst 319 / Anfangswertprobleme von Hand gelöst 320 / Anfangsweitprobleme mit Herrn Eulers Verfahren gelöst 324 / Anschauliche Beschreibung der Methode 324 / Die Methode in Formeln 324 / Beispiel für eine Anwendung des Eulerverfahrens 325 / Anfangswertprobleme mit MATLAB gelöst 327 // TEIL IV / DIE GROßE WEITE WELT DER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 331 / Kapitel 18 / Anwendungen aus der Physik 333 / Der radioaktive Zerfall 334 / Herleitung der Differenzialgleichung 334 / Lösen der linearen Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 335 / Das Federpendel 336 / Herleitung der homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 337 / Lösen der homogenen Differenzialgleichung 338 / Lösen einer inhomogenen Differenzialgleichung 339 / Der elektrische Schwingkreis 341 / Herleitung einer inhomogenen Differenzialgleichung 342 // Kapitel 19 / Anwendungen aus Biologie, Chemie, Ökonomie und Alltag 345 / Biologie: Räuber-Beute-Modell 346 / Und so hilft MATLAB beim Lösen 347 / Chemie: Reaktionen 2. Ordnung A + B -> D + E 351 / So kommt die Differenzialgleichung zustande 351 / Und so lösen Sie sie 352 / Ökonomie: Das Wechselspiel zwischen Zinsen und Konjunktur 356 / So kommt das Differenzialgleichungssystem zustande 356 / Und so lösen Sie es 357 / Alltag: Verbreitung von Gerüchten 361 / So kommt die Differenzialgleichung zustande 361 / Und so lösen Sie sie 362 / Differenzialgleichungen selbst gemacht 365 // TEIL V / DER TOP-TEN-TEIL 369 / Kapitel 20 / Zehn Dinge, die Sie über Differenzialgleichungen wissen MÜSSEN 371 / Nahe Verwandte 371 / Die Erbanlage 371 / Tage der Vernunft 371 / Eulers Großeltern 372 / Ein besonderer Acker 372 / Typisch Mathematiker 372 / Persönlichkeitsstörung 372 / Exotische Vögel 372 / Aufgaben der Bäume 372 / Unerwartete Gemeinsamkeiten 372 // Stichwortverzeichnis 375
Details
VerfasserIn: Sigg, Timm
VerfasserInnenangabe: Timm Sigg ; Fachkorrektur von Marianne Hammer-Altmann
Jahr: 2018
Verlag: Weinheim, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
Systematik: NN.ML
ISBN: 978-3-527-71557-2
2. ISBN: 3-527-71557-6
Beschreibung: 2. Auflage, 378 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Beteiligte Personen: Hammer-Altmann, Marianne
Fußnote: Vorangegangen ist: ISBN: 9783527707959
Mediengruppe: Buch