Dieses Buch erklärt die mathematischen Zusammenhänge möglichst anschaulich. Deshalb sind die Darstellungen sehr ausführlich und durch zahlreiche Abbildungen verdeutlicht. Aufgebaut wird nur auf den Mathematikkenntnissen, die die meisten Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe tatsächlich haben. Bei der Darstellung des Stoffes wird also berücksichtigt, dass auch manch ein Begriff aus der Mittelstufe noch erklärungsbedürftig ist, wenn dieser benutzt wird. So werden z.B. Exponentialfunktionen und Logarithmen relativ ausführlich behandelt. Außerdem sind in einem Anhang die wichtigsten mathematischen Zusammenhänge aus der Mittelstufe angeführt.
Von der Einkaufzentrale für öffentliche Bibliotheken wurde der Band 1 allen Bibliotheken zur Anschaffung empfohlen:
"Ein übersichtliches und klares Werk, überzeugend durch recht ausführliche Erläuterungen und andererseits den Mut zur inhaltlichen Beschränkung.“
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Einleitung 9
2 Folgen und Reihen 10
2.1 Grundlagen 10
2.2 Arithmetische Folgen 12
2.3 Geometrische Folgen 14
2.4 Grenzwerte von Folgen 18
3 Funktionen 21
3.1 Begriff der Funktion 21
3.2 Graphen von Funktionen 23
3.3 Geraden (lineare Funktionen) 26
3.4 Parabeln zweiten Grades 28
3.5 Parabeln n-ter Ordnung / Ganzrationale Funktionen 31
3.6 Gebiochenrationale Funktionen 33
3.7 Wurzelfunktionen 34
3.8 Umkehrfunktionen 36
3.9 Exponentialfunktion und Logarithmus 39
3.9.1 Exponentialfunktion 39
3.9.2 Darstellung des Taschenrechners für sehr große und sehr kleine Zahlen 41
3.9.3 Rechenregeln für Exponenten 41
3.9.4 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion 42
3.9.5 Rechenregeln für Logarithmen 45
3.10 Trigonometrische Funktionen 46
3.10.1 Die Sinusfunktion 46
3.10.2 Winkelmaße - Bogenmaß(rad) und Gradmaß(deg) 46
3.10.3 Cosinus und Tangens 47
3.10.4 Trigonometrische Umkehrfunktionen 49
4 Grenzwerte von Funktionen 50
4.1 Grenzwerte für x gegen unendlich 50
4.2 Grenzwerte gegen eine reelle Zahl 51
4.3 Übungsaufgaben 56
5 Steigung von Funktionen 58
5.1 Grundlagen 58
5.1.1 Steigung einer Geraden 58
5.1.2 Steigung von Sekante und Tangente 59
5.1.3 Bestimmung der Steigung einer Funktion 61
5.2 Ableitungen verschiedener Funktionen 66
5.2.1 Ableitung für Potenzen von x 66
5.2.2 Ableitungen mit Faktoren 68
5.2.3 Ableitungen für Trigonometrische Funktionen 69
5.2.4 Ableitungen von Exponentialfunktionen 70
5.2.5 Ableitung von Umkehrfunktionen 71
5.3 Ableitungen von verknüpften Funktionen 74
5.3.1 Ableitungen von Summen und Differenzen 74
5.3.2 Kettenregel 75
5.3.3 Produktregel 78
5.3.4 Quotientenregel 80
5.4 Ableitungsübersicht 81
5.5 Ableitungsübungen 83
5.6 Tangente und Normale 86
5.7 Konkave und konvexe Funktionen 90
5.8 Newton-Verfahren 92
5.8.1 Grundlagen 92
5.8.2 Berechnung von Nullstellen 94
5.8.3 Konvergenz des Newton-Verfahrens 97
5.9 Mittelwertsatz 99
5.10 Regel von de 1' Hospital zur Bestimmung von Grenzwerten 100
5.10.1 Grundlagen 100
5.10.2 Schema zur Regel von de 1' Hospital 102
5.10.3 Übungsaufgaben 103
6 Kurvendiskussion 105
6.1 Einführung 105
6.2 Monotonie 106
6.3 Stetige und unstetige Funktionen 107
6.4 Symmetrie von Funktionen 109
6.5 Nullstellen von Funktionen 113
6.6 Bestimmung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten 115
6.6.1 Notwendige Bedingung 115
6.6.2 Hinreichende Bedingung für Hoch-und Tiefpunkte 117
6.6.3 Beispiel zur Berechnung von Hoch-und Tiefpunkten 119
6.6.4 Sattelpunkte 122
6.6.5 Schema zur Bestimmung von Extremwerten 124
6.6.6 Randextrema und absolute Extrema 125
6.7 Wendepunkte 128
6.7.1 Grundlagen 128
6.7.2 Beispielaufgabe zu Wendepunkten 130
6.7.3 Schema zur Bestimmung von Wendepunkten 131
6.7.4 Weitere Zusammenhänge 134
6.8 Wertemengen von Funktionen 135
6.9 Kurvendiskussion für eine ganzrationale Funktion 138
6.9.1 Definitionsbereich 138
6.9.2 Symmetrie 138
6.9.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 139
6.9.4 Extremwerte 141
6.9.5 Wendepunkte 143
6.9.6 Zeichnung 144
6.9.7 Wertemenge 144
6.10 Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen 145
6.10.1 Beispielaufgabe 145
6.10.2 Zusammenfassung der Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen 153
6.11 Besonderheiten bei streng monotonen Funktionen 156
6.12 Schema zur Kurvendiskussion 158
6.13 Weitere Aufgaben zur Kurvendiskussion 160
7 Weitere Auigabentypen zur Differentialrechnung 167
7.1 Bestimmung von Funktionsgleichungen 167
7.1.1 Einführung 167
7.1.2 Schema zur Bestimmung von Funktionsgleichungen 169
7.1.3 Übungsaufgaben 170
7.2 Extremwerte mit Nebenbedingungen 173
7.2.1 Einführung 173
7.2.2 Schema für Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 176
7.2.3 Übungsaufgaben 177
7.3 Schnittpunkte von Funktionen 183
8 Integralrechnung 185
8.1 Grundlagen 185
8.2 Berechnung von Integralen 188
8.3 Bestimmtes Integral 190
8.4 Flächenberechnung 192
8.5 Bestimmung von einfachen Integralen 194
8.5.1 Einfache Stammfunktionen 194
8.5.2 Integrale von Funktionen, die addiert oder mit Konstanten multipliziert werden 197
8.5.3 Einfache verkettete Funktionen 198
8.6 Komplexere Integrationsmethoden 200
8.6.1 Substitutionsregel 200
8.6.1.1 Grundlagen 200
8.6.1.2 Substitution als Umkehrung der Kettenregel 202
8.6.1.3 Substitution zur Umformung des Integrals 204
8.6.1.4 Substitution bei bestimmten Integralen 206
8.6.1.5 Schema zur Integration mittels Substitution 208
8.6.2 Partielle Integration 209
8.6.3 Partialbruchzerlegung 211
8.6.3.1 Grundlagen 211
8.6.3.2 Weitere Zusammenhänge 214
8.6.3.3 Schema zur Partialbruchzerlegung 220
8.7 Tabelle wichtiger Stammfunktionen 225
8.8 Integralfunktionen 228
8.9 Uneigentliche Integrale 229
8.10 Berechnung von Summen mittels Integralen 232
8.11 Rotationskörper 233
8.12 Übungsaufgaben 234
9 Anhang 238
9.1 Lösungen von Gleichungen 238
9.1.1 Lineare Gleichungen 238
9.1.2 Quadratische Gleichungen 239
9.1.2.1 Quadratische Ergänzung 239
9.1.2.2 pq-Formel 240
9.1.2.3 Weitere Zusammenhänge 241
9.1.3 Homogene Gleichungen höherer Ordnung 242
9.1.4 Inhomogene Gleichungen höherer Ordnung 242
9.1.5 Gleichungen mit Quotienten 244
9.1.6 Komplexere Gleichungen 244
9.1.7 Gleichungssysteme 246
9.1.7.1 Lineare Gleichungssysteme 246
9.1.7.2 Nichtlineare Gleichungssysteme 248
9.1.8 Ungleichungen 249
9.2 Bruchrechnen 251
9.3 Grundlegende Rechenregeln 254
9.3.1 Wurzeln und Potenzen 254
9.3.2 Multiplizieren von Klammern 254
9.4 Typische Fehler 256
9.5 Formeln 257
9.5.1 Bruchrechnen 257
9.5.2 Rechnen mit Exponenten 257
9.5.3 Logarithmen 258
9.5.4 Trigonometrische Funktionen 258
9.5.5 Wichtige Identitäten 258
9.5.6 Ableitungsübersicht 259
9.5.7 Ableitungsregeln 260
9.5.8 Integrationsregeln 260
9.5.9 Tabelle wichtiger Stammfunktionen 261
9.6 Mathematische Zeichen 263
9.7 Griechisches Alphabet 265
Stichwortverzeichnis 266