Ausführliche mathematische Darstellung des "Goldenes Schnittes" samt verschiedener Anwendungsbereiche.
Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale. Dabei ist der Goldene Schnitt kein isoliertes Phänomen, sondern in vielen Fällen das erste und somit einfachste nichttriviale Beispiel im Rahmen weiterführender Verallgemeinerungen. Ziel dieses Buches ist es, einerseits Beispiele des Goldenen Schnittes zu besprechen, andererseits weiterführende Wege aufzuzeigen. Und weil der Goldene Schnitt in dieser Verallgemeinerungskette jeweils das einfachste Beispiel ist, gewinnt er auch eine didaktische Bedeutung, da im Unterricht sehr gern der einfachste nichttriviale Fall behandelt wird. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Worum geht es? 13
1.1 Was ist der "Goldene Schnitt"? 13
1.2 Bezeichnungen 16
2 Fraktale 17
2.1 Fraktale in Natur und Technik 17
2.2 Der Goldene Baum 18
2.3 Fraktale Dimensionen 21
2.4 Die Herstellung von Fraktalen 23
2.5 Das Quadratfraktal 25
2.6 Dreiecksfraktale 27
2.7 Das Goldene Quadratfraktal 30
3 Goldene Geometrie 33
3.1 Konstruktionen des Goldenen Schnittes 33
3.1.1 Die klassische Konstruktion 33
3.1.2 Konstruktion mit Winkelhalbierenden 34
3.1.3 Konstruktion im Dreiecksraster 36
3.2 Das regelmäßige Fünfeck und das regelmäßige Zehneck 37
3.2.1 Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Fünfeck 42
3.2.2 Rastergeometrie 43
3.2.3 Fraktale mit fünfteiliger Drehsymmetrie 45
3.3 Das Goldene Rechteck 47
3.3.1 Einheitsquadrat und Goldenes Rechteck 47
3.3.2 Konstruktion des Goldenen Rechteckes 48
3.3.3 Unterteilung des Goldenen Rechteckes 48
3.3.4 Spiralen im Goldenen Rechteck 52
3.3.5 Existenz irrationaler Zahlen 55
3.3.6 Verallgemeinerung des Goldenen Rechteckes 59
3.4 Goldene Vielecke 62
3.4.1 Das Goldene Parallelogramm 62
3.4.2 Goldene Dreiecke 63
3.5 Goldene Ellipsen 66
3.5.1 Flächenvergleich mit einem Kreis 66
3.5.2 Geometrie in der Musikkassette 67
3.5.3 Ellipse im Quadratraster. 69
3.6 Goldene Trigonometrie 70
3.6.1 Formeln und Beispiele 70
3.6.2 Fourier und der Goldene Schnitt 73
4 Falten und Schneiden 75
4.1 Papierstreifen-Konstruktion des regelmäßigen Fünfeckes 75
4.2 Ongami 76
4.2.1 Das Goldene Rechteck 77
4.2.2 Fünfteilige Symmetrie 78
4.3 Fünfecke 80
4.4 Sternfiguren 82
4.4.1 Das Pentagramm 82
4.4.2 Die Figur von Odom 83
5 Zahlenfolgen 85
5.1 Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes 85
5.2 Fibonacci-Folgen 87
5.2.1 Stammbaum einer Drohne 89
5.2.2 Approximation des Goldenen Rechteckes durch Fibonacci-Quadrate 90
5.2.3 Beliebige Startwerte 92
5.3 Potenzen von 1 + V2 94
5.4 Potenzen einer Lösung einer quadratischen Gleichung 97
5.5 Verallgemeinerte Fibonacci-Folgen 100
5.6 Kettenbriiche 108
5.7 Linearkombination zweier geometrischer Folgen 109
5.8 Kettenwurzeln 111
6 Reguläre und halbreguläre Körper 113
6.1 Die regulären Körper 113
6.2 Konstruktionen auf der Basis des Würfels und des Oktaeders 115
6.3 Rhombenkörper 120
6.3.1 Das Rhombendodekaeder 120
6.3.2 Flechtmodelle für Würfel und Rhombendodekaeder 122
6.3.3 Das Rhombentriakontaeder 124
6.3.4 Rhomboeder 126
6.3.5 Zerlegung des Rhombentriakontaeders 129
6.3.6 Bilder von Hyperwürfeln 132
6.3.7 Ein Sternkörper 133
7 Beispiele und weitere Fragen 135
7.1 Zahlenspielereien 135
7.2 Geometrie, Schnittpunkte 140
7.3 Ornamente 147
7.3.1 Nullstellen 147
7.3.2 Das Sinus-Ornament 150
7.3.3 Ornamente mit Kreisen 150
7.4 Extrema und Wendepunkte. Funktionen 152
7.5 Goldene Wahrscheinlichkeiten 154
8 Der Goldene Schnitt in Architektur, Kunst und Natur 157
8.1 Architektur 157
8.1.1 Die Cheops-Pyramide 157
8.1.2 Antike 160
8.1.3 Das Alte Rathaus in Leipzig 160
8.2 Malerei 161
8.3 Verhältnisse am Menschen 164
8.4 Weiße und schwarze Magie 167
8.5 In der Natur 168
9 Antworten zu den Fragen im Text 175
Literatur 203
Abbildungsnachweis 207
Hans Wußing: Über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig 209
Namen-und Sachverzeichnis 217