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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MN Frie / College 6a - Naturwissenschaften / Regal 611	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Die Mathematik ist in allen Bereichen der modernen Gesellschaft ein wichtiges Hilfsmittel, um bei der Lösung der vielfältigen Probleme mit zu wirken, insbesondere in Technik, Naturwissenschaften und Ökonomie. Die Mitwirkung mathematischer Methoden bei der Lösung praktischer Aufgaben in diesen Bereichen vollzieht sich in folgenden Schritten:

 

Präzise Formulierung des Problems: die Aufgabenstellung muss klar erkennbar werden. Es ist kenntlich zu machen, welche Schwerpunkte zu setzen sind.

Erarbeitung eines mathematischen Modells des Problems: aus der technischen, ökonomischen oder sonstigen Aufgabenstellung ist ein für die mathematische Behandlung geeignetes Modell zu entwickeln und einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen.

Numerische Berechnung der Lösung: es sind geeignete Algorithmen und die erforderlichen Rechenhilfsmittel auszuwählen. Es sind Anforderungen an den numerischen Algorithmus bezüglich Rechenzeit und Rechengenauigkeit zu formulieren, sowie Abschätzungen der zu erwartenden Rechenfehler durchzuführen.

Auswertung der erzielten Resultate: Es ist zu entscheiden, ob eine ausreichende Lösung des praktischen Problems erzielt worden ist oder ob eine Verbesserung des mathematischen Modells erfolgen muss.

 

(Verlagstext)

 

Aus dem Inhalt:

 

Vorwort —V Grundlagen —1 Aufgabenstellung—1 Betrag und Normen —2 Betrag—2 Vektor- und Matrixnormen —2 Aufgaben —4 Numerisches Rechnen und Fehler—7 Fehler—7 Fehlerarten —7 Numerisch stabile und instabile Algorithmen —8 Maschinenzahlen —9 Zahlendarstellungen —11 Rundung—11 Unterlauf, Überlauf—13 Fehlerfortpflanzung—13 Maximalfehler—13 Fehlerquadratsumme —15 Konditionszahlen —17 Konditionszahlen bei Funktionen —17 Konditionszahlen bei linearen Gleichungssystemen —18 Aufgaben —20 Iterationsverfahren —21 Iterationsprobleme —21 Einführung—21 Zwischenwertsatz —21 Iterationsverfahren —22 Fixpunktsatz —24 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens—31 Fehlerabschätzungen —32 Abbruchkriterien bei Iterationsverfahren —36 Konvergenzordnung—37 Spezielle Iterationsverfahren —39 Bisektionsmethode —39 Regula falsi —41 Newtonsches Iterationsverfahren —45 Konvergenzverbesserung—50 Verkleinern der Lipschitzkonstanten-----50 Verfahren von Aitken-----51 Steffensen-Verfahren-----52 Aufgaben —53 Lineare Gleichungssysteme—57 Aufgabenstellung-----57 Eliminationsverfahren —58 Gaußscher Algorithmus-----58 Pivotstrategie —63 Givens-Verfahren-----65 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix-----70 Nachiteration-----73 Berechnung der inversen Matrix-----76 Abschätzung der Fehlerfortpflanzung-----79 Iterationsverfahren —81 Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren-----82 Abbruch beim Gesamtschrittverfahren —83 Einzelschritt- oder Gauss-Seidel-Verfahren —85 Abbruch beim Einzelschrittverfahren-----85 Konvergenz beim Gesamtschrittverfahren —86 Konvergenz beim Einzelschrittverfahren —88 Fehlerabschätzung bei Iterationsverfahren —88 Aufgaben —92 Approximation von Funktionen —97 Problemstellungen —97 Diskrete Approximation-----97 Die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate-----97 Approximation durch weitere Funktionen —100 Linearisierungen —106 Stetige Approximation mit der Methode der kleinsten Quadrate—112 Orthonormalsysteme—116 Legendre-Polynome—120 Approximation durch trigonometrische Funktionen —122 Die komplexe Form der Fourier-Reihe-----131 Lokale Approximation—136 Problemstellung—136 Die Taylor-Entwicklung—136 Bäzier-Approximation —143 Bernstein-Polynome—143 Bezier-Kurven —146 Interpolationsprobleme—157 Problemstellung—157 Polynominterpolation —158 Interpolationsverfahren von Lagrange—159 Der Fehler der Polynominterpolation—162 Newtonsches Interpolationsverfahren —163 Hermite-Interpolation —173 Spline-Interpolation —180 Lineare Splines—180 Quadratische Splines—182 Kubische Splines—185 B-Splines—192 Interpolation mit periodischen Funktionen —215 Problemstellung—215 Die diskrete Fourier-Transformation-----216 Interpolation mit komplexen Exponentialfunktionen-----226 Interpolation mit trigonometrischen Funktionen-----228 Schnelle Fourier-Transformation —233 Interpolation mit Bezier-Kurven —242 Interpolierende kubische Bezier-Kurven —242 Kubische Bezier-Splines—245 Interpolationsflächen —249 Problem —249 Bivariate Lagrange-Interpolation —250 Aufgaben-----255 Numerische Differentiation-----259 Vorbemerkungen —259 Numerische Bestimmung von Ableitungen erster Ordnung—259 Der Rundungsfehler bei der numerischen Differentiation —265 Numerische Bestimmung von Ableitungen höherer Ordnung-----267 Aufgaben-----268 Numerische Integrationsmethoden —271 Aufgabenstellung-----271 Trapezformel—271 Herleitung-----271 Abbruchbedingung bei der Trapezformel-----274 Simpsonsche Formel—276 Herleitung-----276 Abbruchbedingung bei der Simpsonschen Formel —280 Fehlerabschätzungen —283 Verfahren von Romberg—287 Herleitung-----287 Abbruchbedingung beim Romberg-Verfahren-----291 Fehlerabschätzung beim Romberg-Verfahren —292 Adaptive Simpson-Quadratur-----293 Herleitung-----293 Fehlerschranke-----296 Gauß-Integration-----302 Vorbemerkungen-----302 Integration auf dem Intervall [-1,1] —304 Gauß-Integration über ein beliebiges Intervall-----308 Aufgaben-----309 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen —311 Begriffe und Beispiele-----311 Differentialgleichungen erster Ordnung-----312 Technische und ökonomische Beispiele —313 Das Verfahren von Picard-Lindelöf—314 Taylor-Methoden-----317 Der Euler-Cauchy Polygonzug—317 Methoden höherer Ordnung—321 Fehlerschranken-----324 Runge-Kutta-Verfahren —325 Mehrschrittverfahren-----330 Explizite Mehrschrittverfahren —331 Implizite Mehrschrittverfahren —337 Prädiktor-Korrektor-Verfahren-----343 Steife Differentialgleichungen-----345 Weitere Anfangswertaufgaben —354 Differentialgleichungssysteme erster Ordnung—354 Differentialgleichungen höherer Ordnung-----361 Aufgaben-----362 Polynome—367 Reelle Polynome-----367 Horner-Schema-----367 Abspaltung eines Linearfaktors-----369 Vollständiges Horner-Schema-----369 Newtonsches Näherungsverfahren-----373 Allgemeine Horner-Schemata bei reellen Polynomen —373 m-Zeiliges Horner-Schema —373Verallgemeinertes m-zeiliges Horner-Schema —378 Newtonsches Näherungsverfahren mit den m-zeiligen Horner-Schemata —380 Spezialfälle und Beispiel—381 Bestimmung konjugiert-komplexer Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten —383 Komplexe Polynome—384 Komplexes Horner-Schema —384 Newtonsches Näherungsverfahren —386 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen —387 Abschätzungen zu Nullstellen bei Polynomen mit reellen Koeffizienten—387 Berechnung der Anzahlen der voneinander verschiedenen Nullstellen von Polynomfunktionen —391 Aufgaben —398 Lösungen —401 Literatur—449 Abbildungsverzeichnis —451 Tabellenverzeichnis —455 Stichwortverzeichnis—459