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145 von 146
Basiswissen Zahlentheorie
eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche
Verfasserangabe: Kristina Reiss ; Gerald Schmieder
Jahr: 2014
Verlag: Berlin ; Heidelberg, Springer Spektrum
Mediengruppe: Buch
nicht verfügbarnicht verfügbar
Exemplare
 ZweigstelleStandorteStatusFristVorbestellungen
 Vorbestellen Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a Standorte: NN.MA Reiss / College 6a - Naturwissenschaften Status: Entliehen Frist: 28.10.2022 Vorbestellungen: 0
Inhalt
Kenntnisse über den Aufbau des Zahlensystems und über elementare zahlentheoretische Prinzipien gehören zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit natürlichen Zahlen über Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verständliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgeführten Beweisen stehen und die Verknüpfung von Fachwissen mit Schulbezügen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Ergänzt wird die Darstellung durch viele Übungsaufgaben, die mit Lösungshinweisen und vollständigen Lösungen versehen sind.
Aus dem Inhalt:
 
1 Grundlagen und Voraussetzungen 1
 
1.1 Mengen 2
 
1.1.1 Mengen und ihre Elemente 2
 
1.1.2 Mengen und ihre Mächtigkeit 4
 
1.1.3 Gleichheit von Mengen und Teilmengen 6
 
1.1.4 Verknüpfungen von Mengen 7
 
1.2 Grundbegriffe des logischen Schließens 10
 
1.2.1 Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen 11
 
1.2.2 Mathematische Logik und Alltagslogik 11
 
1.2.3 Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens und logischen Schließens 12
 
1.2.4 Implikationen und Beweisverfahren 13
 
1.2.5 Quantoren 16
 
1.3 Übungsaufgaben 17
 
 
 
2 Natürliche Zahlen 19
 
2.1 Rechnen mit natürlichen Zahlen 20
 
2.1.1 Addition und Subtraktion 20
 
2.1.2 Das Prinzip des kleinsten Elements 21
 
2.1.3 Multiplikation und Teilbarkeit 24
 
2.1.4 Die Goldbach'sche Vermutung 27
 
2.2 Die Idee der unendlichen Mengen 28
 
2.2.1 Gibt es unendliche Mengen? 28
 
2.2.2 Hilberts Hotel 29
 
2.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion 30
 
2.3.1 Beweisen durch vollständige Induktion 30
 
2.3.2 Definition durch Induktion: Das Produkt natürlicher Zahlen 36
 
2.3.3 Definition durch Induktion: n Fakultät 37
 
2.3.4 Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen 38
 
2.3.5 Geometrische Summenformel 41
 
2.4 Der binomische Lehrsatz 44
 
2.5 Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit 50
 
2.6 Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen 53
 
2.6.1 Was sind die natürlichen Zahlen? 53
 
2.6.2 Die Peano-Axiome 55
 
2.6.3 Modelle zu den Peano-Axiomen 58
 
2.6.4 Mengentheoretische Begründung von N 59
 
2.7 Übungsaufgaben 60
 
 
 
3 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme 63
 
3.1 Beispiele für Zahldarstellungen 63
 
3.2 Division mit Rest 67
 
3.3 Die Kreuzprobe 71
 
3.3.1 Das Prinzip der Kreuzprobe 72
 
3.3.2 Die Begründung der Kreuzprobe 73
 
3.4 Zahldarstellung in g-adischen Systemen 74
 
3.5 Rechnen in Stellenwertsystemen 78
 
3.5.1 Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen 78
 
3.5.2 Multiplikation und Division in g-adischen Systemen 81
 
3.6 Übungsaufgaben 84
 
 
 
4 Teilbarkeit und Primzahlen 85
 
4.1 Teilbarkeit in N 85
 
4.2 Primzahlen 89
 
4.2.1 Das Sieb des Eratosthenes 90
 
4.2.2 Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen 91
 
4.2.3 Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln 94
 
4.2.4 Primfaktorzerlegung 95
 
4.3 Teilbarkeit und Primfaktoren in Z 100
 
4.4 Übungsaufgaben 108
 
 
 
5 Teiler und Vielfache 111
 
5.1 Der größte gemeinsame Teiler in Z 111
 
5.2 Der euklidische Algorithmus 117
 
5.3 Das kleinste gemeinsame Vielfache in Z 122
 
5.4 Vollkommene Zahlen 125
 
5.5 Übungsaufgaben 132
 
 
 
6 Ganze Zahlen 133
 
6.1 Definition der ganzen Zahlen 135
 
6.2 Rechnen mit ganzen Zahlen 141
 
6.3 Die isomorphe Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen 146
 
6.4 Die Anordnung der ganzen Zahlen 151
 
6.5 Übungsaufgaben 153
 
 
 
7 Restklassen 155
 
7.1 Kongruenzen 156
 
7.2 Verknüpfungen von Restklassen 161
 
7.2.1 Der Ring Zm der Restklassen modulo m 168
 
7.3 Teilbarkeitsregeln 170
 
7.3.1 Quersummenregeln 170
 
7.3.2 Endstellenregeln 173
 
7.3.3 Zusammengesetzte und andere Teilbarkeitsregeln 175
 
7.4 Pseudozufallszahlen und Kongruenzen 175
 
7.4.1 Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen 176
 
7.5 Übungsaufgaben 178
 
 
 
8 Lineare und quadratische Kongruenzen 181
 
8.1 Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit 181
 
8.2 Anwendungen linearer Kongruenzen 186
 
8.3 Sätze von Euler 189
 
8.4 Chinesischer Restsatz 193
 
8.5 Quadratische Kongruenzen 195
 
8.6 Übungsaufgaben 205
 
 
 
9 Teilbarkeit in Integritätsringen 207
 
9.1 Integritätsringe 208
 
9.2 Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente 213
 
9.3 Primelemente 221
 
9.4 Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe 228
 
9.5 Eigenschaften von Hauptidealringen 235
 
9.6 Übungsaufgaben 240
 
 
 
10 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie 241
 
10.1 Verwaltung von Lagerbeständen 242
 
10.1.1 EAN (European Article Number) 242
 
10.1.2 ISBN (International Standard Book Number) 244
 
10.2 Kryptographie 247
 
10.2.1 Einheiten in Zpq 252
 
10.2.2 Grundlagen des RSA-Verfahrens 253
 
10.2.3 Praktische Zahlenkodierung 254
 
10.2.4 Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung 255
 
10.2.5 Praktische Textkodierung 256
 
10.3 Übungsaufgaben 260
 
 
 
11 Rationale Zahlen 261
 
11.1 Definition der rationalen Zahlen 262
 
11.2 Q ist eine große Menge: Dezimaldarstellung 271
 
11.3 Q ist eine kleine Menge: Abzählbarkeit 279
 
11.3.1 Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner 280
 
11.3.2 Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen 283
 
11.4 Q ist eine kleine Menge: Rationale und reelle Zahlen 284
 
11.5 Kettenbrüche 289
 
11.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen durch Kettenbrüche 292
 
11.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche 293
 
11.6 Übungsaufgaben 294
 
 
 
12 Reelle Zahlen 297
 
12.1 Konvergenz 299
 
12.2 Die Erweiterung von Q auf K 309
 
12.3 Nachweis des Grenzwerts 315
 
12.4 Übungsaufgaben 321
 
 
 
13 Komplexe Zahlen 323
 
13.1 Definition der komplexen Zahlen 324
 
13.1.1 Die Zahlenebene 325
 
13.1.2 Polarkoordinaten 326
 
13.2 Addition und Multiplikation 329
 
13.3 Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen 331
 
13.4 Rechnen mit komplexen Zahlen 334
 
13.5 Quadratische Gleichungen 338
 
13.6 Gleichungen höherer Ordnung 342
 
13.7 Übungsaufgaben 347
 
 
 
14 Zahlentheoretische Funktionen 349
 
14.1 Begriffsbestimmung 350
 
14.2 Primzahlverteilung 351
 
14.3 Die Euler'sche ^-Funktion 352
 
14.4 Die Riemann'sche f-Funktion 359
 
14.4.1 Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann'sche f-Funktion 361
 
14.4.2 Zusammenhänge der Riemann'schen ^-Funktion mit den Primzahlen 361
 
14.5 Übungsaufgaben 364
 
Lösungshinweise 365
 
Lösungen 379
 
Literaturverzeichnis 421
 
Sachverzeichnis 423
Details
VerfasserInnenangabe: Kristina Reiss ; Gerald Schmieder
Jahr: 2014
Verlag: Berlin ; Heidelberg, Springer Spektrum
Systematik: NN.MA
ISBN: 978-3-642-39772-1
2. ISBN: 3-642-39772-7
Beschreibung: 3., überarb. Aufl., XVIII, 427 S. : Ill., graph. Darst.
Fußnote: Literaturangaben.
Mediengruppe: Buch