Gründliche und verständliche Einführung in Methoden und ausgewählte Inhalte aus dem Anfang eines Mathematikstudiums als Brücke zwischen Schule und Hochschule.
Standen Sie schon einmal vor einem mathematischen Problem oder einer kniffeligen Knobelaufgabe und hatten keine Idee für einen Lösungsansatz? Oder die Ideen gingen Ihnen auf halber Strecke aus? Ist Kreativität erlernbar?
Hier setzt dieses Buch an: Der Autor bearbeitet Schritt für Schritt ausgewählte Probleme, die mit dem Schulwissen der Mittelstufe zu verstehen sind, und lädt Sie dabei zum Mitmachen ein. Davon ausgehend werden Ihnen systematisch Problemlösestrategien, die Grundlagen der Logik und die wichtigsten Beweistechniken vermittelt. Bei der Lektüre des Buches werden Sie Ihre Kreativität schulen und sich universelle Prinzipien der Wissenschaft Mathematik aneignen, die weit über die gestellten Aufgaben hinausreichen und Ihnen den Weg zur höheren Mathematik ebnen. Sie lernen, selbständig mathematische Probleme zu lösen, den Sinn von Beweisen zu verstehen und selbst Beweise zu finden.
Das Buch basiert auf einer einsemestrigen Vorlesung, die der Autor an der Universität Oldenburg mit großem Erfolg gehalten hat. Es eignet sich zum Selbststudium, als Grundlage für einführende Lehrveranstaltungen im Mathematikstudium und für problemlöseorientierten Unterricht in der Schule. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Einführung 1
1 Erste mathematische Erkundungen 11
1.1 Zersägen eines Baumstamms 11
1.2 Ein Problem mit Nullen 12
1.3 Ein Problem über Geraden in der Ebene 16
1.4 Werkzeugkasten 22
Aufgaben 23
2 Die Idee der Rekursion 25
2.1 Die Technik der Rekursion 25
2.2 Die Anzahl der Teilmengen 28
2.3 Pflasterungen mit Dominosteinen 34
2.4 Auflösen der FraoNACCi-Rekursion 38
2.5 Triangulierungen 45
2.6 Werkzeugkasten 52
Aufgaben 52
3 Vollständige Induktion 55
3.1 Das Induktionsprinzip 55
3.2 Färbungen 58
3.3 Werkzeugkasten 63
Aufgaben 63
4 Graphen 67
4.1 Die EuLERsche Formel für ebene Graphen 67
4.2 Doppeltes Abzählen bei Graphen 75
4.3 Händeschütteln und Graphen 78
4.4 Fünf Punkte mit allen Verbindungen in der Ebene . . . 79
4.5 Weiterführende Bemerkungen: EuLERsche Polyederformel, Topologie und Vierfarbenproblem 83
4.6 Werkzeugkasten 86
Aufgaben 87
5 Abzählen 91
5.1 Grundprinzipien des Abzählens 91
5.2 Abzählen durch Bijektion 99
5.3 Doppeltes Abzählen 104
5.4 Weiterführende Bemerkungen: Doppelsummen, Integrale und Unendlichkeiten 109
5.5 Werkzeugkasten 113
Aufgaben 113
6 Allgemeine Strategien 117
6.1 Allgemeine Problemlösestrategien 117
6.2 Die Diagonale im Quader 121
6.3 Das Trapezzahlen-Problem 124
6.4 Weiterführende Bemerkungen: Summen-Darstellungen ganzer Zahlen 131
Aufgaben 133
7 Logik und Beweise 135
7.1 Logik 135
7.2 Beweise 144
Aufgaben 155
8 Elementare Zahlentheorie 159
8.1 Teilbarkeit, Primzahlen und Reste 159
8.2 Kongruenzen 164
Aufgaben 169
9 Das Schubfachprinzip 173
9.1 Das Schubfachprinzip, Beispiele 173
9.2 Reste als Schubfächer 177
9.3 Eine Erkundungstour: Approximation durch Brüche . 179
9.4 Ordnung im Chaos: Das Schubfachprinzip in der Graphentheorie 190
9.5 Werkzeugkasten 192
Aufgaben 192
10 Das Extremalprinzip 195
10.1 Das allgemeine Extremalprinzip 196
10.2 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, I . . . . 202
Schema für das Extremalprinzip 204
10.3 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, II . . . . 211
10.4 Weiterführende Bemerkungen: Optimierung, Spiegel und Billard 216
10.5 Werkzeugkasten 223
Aufgaben 223
11 Das Invarianzprinzip 229
11.1 Das Invarianzprinzip, Beispiele 229
11.2 Schema für das Invarianzprinzip 234
11.3 Weitere Beispiele 236
11.4 Weiterführende Bemerkungen: Knoten, Erhaltungsgrößen und der Sinn von Unmöglichkeitsbeweisen 246
11.5 Werkzeugkasten 251
Aufgaben 251
A Ein Überblick über Problemlösestrategien 257
B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen 263
Symbolverzeichnis 269
Glossar 271
Listen der Probleme, Sätze und Verfahren 277
Hinweise zu ausgewählten Aufgaben 279
Literaturverzeichnis 289