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8 von 859
Einführung in die mathematische Logik
VerfasserIn: Tarski, Alfred
Verfasserangabe: Alfred Tarski
Jahr: 1977
Verlag: Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht
Mediengruppe: Buch
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Inhalt
 
 
 
 
 
 
/ AUS DEM INHALT: / / /
 
 
Vorwort 5
 
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage 11
 
 
 
ERSTER TEIL
 
Elemente der Logik. Deduktive Methode
 
 
 
I. Über den Gebrauch der Variablen
 
1. Konstanten und Variablen 17
 
2. Ausdrücke, die Variablen enthalten: Satz- und Bezeichnungsfunktionen 18
 
3. Aufstellung von mathematischen Lehrsätzen mit Hilfe von Variablen. Generelle und existenzielle Sätze 21
 
4. Der Allquantor und der Existenzquantor; freie und gebundene Variablen 23
 
5. Die Bedeutung der Variablen für die Mathematik 26
 
Übungsaufgaben 27
 
 
 
II. Über den Aussagenkalkül
 
6. Logische Konstanten; die alte und die neue Logik 31
 
7. Der Aussagenkalkül; die Negation eines Satzes, die Konjunktion und die Disjunktion von Sätzen 32
 
8. Die Implikation oder der Bedingungssatz; die Implikation in materialer Bedeutung 36
 
9. Der Gebrauch der Implikation in der Mathematik 41
 
10. Die Äquivalenz von Sätzen 45
 
11. Die Formulierung von Definitionen und ihre Regeln 46
 
12. Lehrsätze des Aussagenkalküls 49
 
13. Symbolik des Aussagenkalküls; Wahrheitsfunktionen und Wahrheitstafeln 51
 
14. Anwendung von Lehrsätzen des Aussagenkalküls in mathematischen Beweisen 57
 
15. Schlußregeln, vollständige Beweise 59
 
Übungsaufgaben 61
 
 
 
III. Über die Theorie der Identität
 
16. Logische Begriffe außerhalb des Aussagenkalküls; Begriff der Identität 66
 
17. Wichtigste Lehrsätze aus der Theorie der Identität 67
 
18. Identität von Dingen und Identität ihrer Bezeichnungen; der Gebrauch von Anführungsstrichen 69
 
19. Die Gleichheit in der Arithmetik und Geometrie und ihre Beziehung zu der logischen Identität 72
 
20. Numerische Quantoren 74
 
Übungsaufgaben 76
 
 
 
IV. Über die Klassentheorie
 
21. Mengen und ihre Elemente 79
 
22. Mengen und Satzfunktionen einer freien Variablen 80
 
23. Die AUklasse und die Nullklasse 83
 
24. Grundbeziehungen zwischen Mengen 84
 
25. Operationen mit Mengen 87
 
26. Gleichmächtige Mengen, Anzahl der Elemente einer Menge, endliche und unendliche Mengen; Arithmetik als Teil der Logik 89
 
Übungsaufgaben 92
 
 
 
V. Über die Relationstheorie
 
27. Beziehungen, ihre Bereiche und Gegenbereiche; Beziehungen und Satzfunktionen mit zwei freien Variablen 97
 
28. Der Relationskalkül 99
 
29. Einige Eigenschaften von Relationen 103
 
30. Beziehungen, die zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sind 104
 
31. Ordnungsbeziehungen; Beispiele anderer Beziehungen 106
 
32. Eindeutige Beziehungen oder Funktionen 108
 
33. Umkehrbare Funktionen und eineindeutige Zuordnungen. 112
 
34. Mehrgliedrige Beziehungen; Funktionen von mehreren Variablen und Operationen 114
 
35. Die Bedeutung der Logik für andere Wissenschaften 117
 
Übungsaufgaben 118
 
 
 
VI. Über die deduktive Methode
 
36. Fundamentale Bestandteile einer deduktiven Theorie: Grundbegriffe und definierte Begriffe, Axiome und Theoreme 126
 
37. Modell und Interpretation einer deduktiven Theorie 129
 
38. Deduktionsgesetz; formaler Charakter deduktiver Wissenschaften 134
 
39. Wahl der Axiome und Grundbegriffe; ihre Unabhängigkeit. 139
 
40. Formalisierung von Definitionen und Beweisen, formalisierte deduktive Theorien 141
 
41. Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit einer deduktiven Theorie; das Entscheidungsproblem 143
 
42. Der erweiterte Begriff einer Methodologie der deduktiven Wissenschaften 147
 
Übungsaufgaben 149
 
 
 
ZWEITER TEIL
 
Anwendungen der Logik und der Methodologie beim Aufbau mathematischer Theorien
 
 
 
VII. Aufbau einer mathematischen Theorie: Sätze über die Anordnung von Zahlen
 
43. Grundbegriffe der aufzubauenden Theorie; Axiome für die Grundbeziehungen zwischen Zahlen 162
 
44. Sätze der Irreflexivität für die Grundbeziehungen; indirekte Beweise 164
 
45. Weitere Sätze über die Grundbeziehungen 166
 
46. Andere Beziehungen zwischen Zahlen 169
 
Übungsaufgaben 172
 
 
 
VIII. Aufbau einer mathematischen Theorie: Sätze über Addition und Subtraktion
 
47. Axiome für die Addition; allgemeine Eigenschaften von Operationen, Begriffe der Gruppe und der Abelschen Gruppe 175
 
48. Kommutative und assoziative Gesetze für eine größere Anzahl von Summanden 177
 
49. Monotoniegesetze der Addition und ihre Umkehrungen. 178
 
50. Geschlossene Systeme von Sätzen 183
 
51. Folgerungen aus den Sätzen der Monotonie 184
 
52. Definition der Subtraktion; inverse Operationen 187
 
53. Definitionen, deren Definiendum das Gleichheitszeichen enthält 188
 
54. Theoreme über die Subtraktion 190
 
Übungsaufgaben 192
 
 
 
IX. Methodologische Betrachtungen über die aufgestellte Theorie
 
55. Elimination überflüssiger Axiome aus dem ursprünglichen Axiomensystem 198
 
56. Unabhängigkeit der Axiome des vereinfachten Systems 201
 
57. Elimination überflüssiger Grundbegriffe und Vereinfachung des Axiomensystems; Begriff der geordneten Abelsehen Gruppe 203
 
58. Weitere Vereinfachung des Axiomensystems; mögliche Umformungen des Systems der Grundbegriffe 206
 
59. Das Problem der Widerspruchsfreiheit der aufgestellten Theorie 210
 
60. Das Problem der Vollständigkeit der aufgestellten Theorie . . 211
 
Übungsaufgaben 213
 
 
 
X. Erweiterung der aufgebauten Theorie - Grundlagen der Arithmetik der reellen Zahlen
 
61. Erstes Axiomensystem für die Arithmetik der reellen Zahlen 219
 
62. Nähere Charakterisierung des ersten Axiomensystems; methodologische Vorteile und didaktische Nachteile desselben 220
 
63. Zweites Axiomensystem für die Arithmetik der rellen Zahlen 223
 
64. Nähere Charakterisierung des zweiten Axiomensystems; der Begriff des Körpers und des geordneten Körpers 224
 
65. Äquivalenz der beiden Axiomensysteme; methodologische Nachteile und didaktische Vorteile des zweiten Systems 226
 
Übungsaufgaben 227
 
 
 
Literaturhinweise 232
 
 
 
Personen- und Sachverzeichnis 276
 
Details
VerfasserIn: Tarski, Alfred
VerfasserInnenangabe: Alfred Tarski
Jahr: 1977
Verlag: Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht
Systematik: NN.M
ISBN: 978-3-525-40540-6
2. ISBN: 3-525-40540-5
Beschreibung: 5. Aufl., 285 S.
Originaltitel: O logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej <dt.>
Fußnote: erweitert um den Beitrag "Wahrheit und Beweis"
Mediengruppe: Buch