Die Neubearbeitung legt besonderen Wert auf eine facettenreiche und exakte Theorievermittlung [...]
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen
0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Einführung (Definition) komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Algebraische Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Polardarstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Potenzieren und Wurzelziehen in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exkurs: Leben wir in einer Vollwelt oder in einer Hohlwelt ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Differentialrechnung
0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1. Das Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2. Das Problem der Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Die Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und
verketteter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Ableitung weiterer wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Exkurs: Von Fadengrafiken zu BÉZIER-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3 Kurvendiskussionen - Funktionsmodelle
0. Vorschau und Vorübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1. Zusammenhang zwischen Funktionseigenschaften und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2. Diskussion von Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3. Diskussion von rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4. Diskussion von Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6. Diskussion weiterer Funktionen - Theoretische Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exkurs: Wie Kurven wirklich erzeugt werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 Einige Anwendungen der Differentialrechnung
0. Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1. Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung -
Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2. Ermitteln von Nullstellen mit Hilfe der Differentialrechnung -
Das NEWTON'sche Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3. Approximation von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung -
TAYLOR-Polynome und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4. Berechnen von Grenzwerten mit Hilfe der Differentialrechnung -
Die Regel von l'HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exkurs: Bringen wir ihn um die Ecke? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5 Nichtlineare analytische Geometrie
0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1. Die Kreisgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2. Kreisschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3. Kreistangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4. Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5. Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6. Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7. Schnitt- und Berühraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8. Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9. Parameterdarstellung (weiterer) ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10. Parameterdarstellung von Raumkurven und Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Exkurs: Die Kugel als Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
0. Wiederholung, Vorübungen und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1. Zufallsvariable und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
2. Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3. Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4. Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exkurs: (Be-)Trügerische Mathematik - Bedenkenswertes und Kurioses
zum "lockeren" Umgang mit Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Anhang
Tabellen der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Kompetenzcheck - Lösungen zu Kapitel 1 bis 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Sachwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287