Einführung in die Grundgedanken der modernen algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themen, die üblicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden, führt sie anhand konkreter Probleme zu den Kerntechniken der modernen Theorie: Lokal-Global-Prinzipien für diophantische Gleichungen, die Dedekindsche Theorie der Ideale für den Fall quadratischer Zahlkörper, p-adische Zahlen. Zusätzlich beweist sie den berühmten Satz von Hasse-Minkowski über rationale quadratische Formen. Der technische Apparat wird nur in Bezug auf konkrete Fragen entwickelt.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Kapitel 1: Rechnen mit Restklassen 1
1.1 Teilbarkeit 1
1.2 Primzahlen 3
1.3 Kongruenzen 7
1.4 Der Kleine Fermatsche Satz 13
1.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse I 14
1.6 Polynomkongruenzen 15
1.7 Primitive Wurzeln 17
Kapitel 2: Das Quadratische Reziprozitätsgesetz 21
2.1 Quadratische Reste modulo p 21
2.2 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz 24
2.3 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse II 27
2.4 Quadratsummen I 29
Kapitel 3: Diophantische Gleichungen 35
3.1 Hindernisse 35
3.2 Lineare Gleichungssysteme 37
3.3 Diophantische Gleichungen modulo p 40
3.4 Diophantische Gleichungen modulo Primpotenzen 43
3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen 45
Kapitel 4: Die Gaußschen Zahlen 49
4.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Körper 49
4.2 Euklidische Ringe 53
4.3 Primzerlegung in den Gaußschen Zahlen 56
4.4 Quadratsummen II 59
4.5 Pythagoräische Tripel 61
4.6 Erweiterte Zahlringe 63
Kapitel 5: Algebraische Zahlen 65
5.1 Polynomringe 65
5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 67
5.3 Ganze algebraische Zahlen 71
5.4 Kreisteilungspolynome 75
5.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse III 79
Kapitel 6: Quadratische Zahlkörper 81
6.1 Quadratische Zahlkörper 82
6.2 Rechnen mit Idealen 85
6.3 Primideale 90
6.4 Gebrochene Ideale 92
6.5 Das Zerlegungsgesetz 97
6.6 Die Idealklassengruppe 105
6.7 Einheiten in quadratischen Zahlkörpern 112
6.8 Anwendung auf diophantische Gleichungen 117
6.9 Kriterien für hK > 1 119
6.10 Euklidizität von OK 121
Kapitel 7: Der Große Fermatsche Satz 125
7.1 Der Fall n = 4 125
7.2 Der Satz von Sophie Germain 127
7.3 Kummers Theorem 128
7.4 Der Fall n = 3 130
Kapitel 8: Analytische Methoden 133
8.1 Dirichlet-Charaktere 133
8.2 Gauß- und Jacobi-Summen 137
8.3 Diophantische Gleichungen modulo p 141
8.4 Die Riemannsche Zetafunktion 143
8.5 L-Reihen 147
8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV 149
Kapitel 9: p-adische Zahlen 153
9.1 Der p-adische Abstand 153
9.2 Der Körper der p-adischen Zahlen 159
9.3 Ganze p-adische Zahlen 161
9.4 Die p-adische Entwicklung 164
9.5 p-adische Gleichungen 166
9.6 Das Hilbert-Symbol 170
9.7 Die Produktformel 175
Kapitel 10: Quadratische Formen 181
10.1 Quadratische Formen über Körpern . 182
10.2 Zwei Sätze von Witt . 185
10.3 Reelle quadratische Formen 189
10.4 Quadratische Formen über lokalen Körpern 191
10.5 Der Satz von Hasse-Minkowski 194
10.6 Quadratsummen III 198
10.7 Geschlechtertheorie 200
Bezeichnungen 209
Literaturverzeichnis 211
Sachverzeichnis 213