Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben des Lehrbuchs "Lineare Algebra" von G. Fischer.
Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Buch Lineare Algebra von Gerd Fischer gedacht. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben, die aus dem Lehrbuch stammen, sind sehr ausführlich dargestellt.
Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik, Physik oder verwandter Wissenschaften bei der Vor- und Nachbereitung von Vorlesungen und Prüfungen zur Linearen Algebra. Durch seine reichhaltige Zusammenstellung von Aufgaben und (kommentierten) Lösungen stellt es auch eine unentbehrliche Fundgrube für Lehrende dar, sei es an der Schule oder Hochschule.
/ AUS DEM INHALT: / / /
I Aufgaben 1
0 Lineare Gleichungssysteme 3
0.3 Ebenen und Geraden im Standardraum R3 3
0.4 Das Eliminationsverfahren von GAUSS 4
Ergänzungsaufgaben 5
0.5 Geraden und Quadratische Kurven im R2 7
Ergänzungsaufgaben 7
1 Grundbegriffe 11
1.1 Mengen und Abbildungen 11
Ergänzungsaufgabe 12
1.2 Gruppen 12
Ergänzungsaufgabe 13
1.3 Ringe, Körper und Polynome 14
Ergänzungsaufgabe 15
1.4 Vektorräume 16
Ergänzungsaufgabe 17
1.5 Basis und Dimension 17
1.6 Summen von Vektorräumen* 19
Ergänzungsaufgabe 19
2 Lineare Abbildungen 20
2.1 Beispiele und Definitionen 20
2.2 Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume* 21
Ergänzungsaufgabe 22
2.3 Lineare Gleichungssysteme 22
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 24
2.5 Multiplikation von Matrizen 25
Ergänzungsaufgaben 28
2.6 Koordinatentransformationen 28
2.7 Elementarmatrizen und Matrizenumformungen 29
Ergänzungsaufgaben 30
3 Determinanten 32
3.1 Beispiele und Definitionen 32
Ergänzungsaufgaben 33
3.2 Existenz und Eindeutigkeit 34
Ergänzungsaufgabe 36
3.3 Minoren* 36
Ergänzungsaufgaben 37
3.4 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung* .... 37
Ergänzungsaufgaben 38
4 Eigenwerte 39
4.1 Beispiele und Definitionen 39
Ergänzungsaufgabe 40
4.2 Das charakteristische Polynom 40
4.3 Diagonalisierung 41
Ergänzungsaufgabe 42
4.4 Trigonalisiemng* 42
4.5 Potenzen eines Endomorphismus* 43
4.6 Die Jordansche Normalform* 44
Ergänzungsaufgaben 46
5 Euklidische und unitäre Vektorräume 47
5.1 Das kanonische Skalarprodukt im R" 47
5.2 Das Vektorprodukt im R3 50
5.3 Das kanonische Skalarprodukt im C" 52
5.4 Bilinearformen und Sesquilinearformen 52
Ergänzungsaufgaben 54
5.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 58
Ergänzungsaufgabe 59
5.6 Selbstadjungierte Endomorphismen* 59
Ergänzungsaufgaben 60
5.7 Hauptachsentransformation* 60
Ergänzungsaufgaben 62
6 Dualität* 63
6.1 Dualräume 63
6.2 Dualität und Skalarprodukte 63
Ergänzungsaufgaben 64
6.3 Tensorprodukte* 64
6.4 Multilineare Algebra* 67
Ergänzungsaufgaben 70
Inhaltsverzeichnis IX
II Lösungen 73
0 Lineare Gleichungssysteme 75
0.3 Ebenen und Geraden im Standardraum M3 75
0.4 Das Eliminationsverfahren von GAUSS 78
0.S Geraden und Quadratische Kurven im R2 82
Ergänzungsaufgaben 82
1 Grundbegriffe 88
1.1 Mengen und Abbildungen 88
Ergänzungsaufgabe 89
1.2 Gruppen 94
1.3 Ringe, Körper und Polynome 100
1.4 Vektorräume 108
1.5 Basis und Dimension 115
1.6 Summen von Vektorräumen* 123
2 Lineare Abbildungen 128
2.1 Beispiele und Definitionen 128
2.2 Bild, Fasern und Kem, Quotientenvektorräume* 131
2.3 Lineare Gleichungssysteme 135
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 139
2.5 Multiplikation von Matrizen 143
2.6 Koordinatentransformationen 154
2.7 Elementarmatrizen und Matrizenumformungen 157
3 Determinanten 161
3.1 Beispiele und Definitionen 161
3.2 Existenz und Eindeutigkeit 168
Ergänzungsaufgabe 175
3.3 Minoren* 183
3.4 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung* .... 189
4 Eigenwerte 194
4.1 Beispiele und Definitionen 194
4.2 Das charakteristische Polynom 196
4.3 Diagonalisierung 199
4.4 Trigonalisierung* 206
4.5 Potenzen eines Endomorphismus* 210
4.6 Die Jordansche Normalform* 214
5 Euklidische und unitäre Vektorräume 227
3.1 Das kanonische Skalarprodukt im R" 227
5.2 Das Vektorprodukt im K3 233
5.3 Das kanonische Skalarprodukt im C" 237
5.4 Bilinearformen und Sesquilinearformen 239
5.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 260
5.6 Selbstadjungierte Endomorphismen* 265
5.7 Hauptachsentransformation* 269
6 Dualität* 275
6.1 Dualräume 275
6.2 Dualität und Skalarprodukte 277
6.3 Tensorprodukte* 280
6.4 Multilineare Algebra 292
Literaturverzeichnis 303
Sachwortverzeichnis 305
Symbolverzeichnis 310