Eine ausgesprochen zugängliche Einführung in die elementare Zahlentheorie unter besonderer Berücksichtigung von Anfängerschwierigkeiten. Vorzugsweise für Studierende der Mathematik des 1. Studienjahres. Zugleich ein behutsamer Einstieg in die höhere Mathematik.
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Vorwort VII
1 Gebrauchsanleitung 1
1.1 Zum Aufwärmen: Was ist Zahlentheorie? 2
2 Grundlagen 15
2.1 Elementare Logik und Mengenlehre 15
2.2 Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip 31
2.3 Die ganzen und die rationalen Zahlen 44
Weitere Aufgaben zum zweiten Kapitel 57
3 Elementare Teilbarkeitslehre 63
3.1 Der euklidische Algorithmus 63
3.2 Lineare diophantische Gleichungen 72
3.3 Das Briefmarkenproblem 80
3.4 Primzahlen - die multiplikativen Bausteine 84
3.5 Algebraische Strukturen 96
Weitere Aufgaben zum dritten Kapitel 111
4 Modulare Arithmetik 117
4.1 Rechnen mit Restklassen 118
4.2 Der ,kleine' Fermat und Primzahltests 127
4.3 Der chinesische Restsatz 134
4.4 Kryptographie mit RSA 140
Weitere Aufgaben zum vierten Kapitel 146
5 Das Kontinuum 151
5.1 Konvergente und divergente Folgen 151
5.2 Unendliche Reihen und Dezimalbrüche 162
5.3 Die Irrationalität von 7r 171
5.4 Färbungen der natürlichen Zahlen 174
5.5 Die reellen Zahlen und Intervallschachtelung 178
5.6 abzahlbar vs. überabzählbar 184
Weitere Aufgaben zum fünften Kapitel 191
6 Diophantische Approximation 195
6.1 Die Farey-Folge und Förd-Kreise 195
6.2 Der Approximationssatz von Hurwitz 201
6.3 Kettenbruchkalkül 204
6.4 Das Gesetz der besten Approximation 214
6.5 Periodische Kettenbrüche 222
6.6 Inkommensurabilität in der Geometrie 226
Weitere Aufgaben zum sechsten Kapitel 228
7 Diophantische Gleichungen 233
7.1 Die Pellsche Gleichung 233
7.2 Pythagoräische Tripel 246
7.3 Fermats letzter Satz 255
Weitere Aufgaben zum siebten Kapitel 261
8 Eine imaginäre Welt 267
8.1 Die komplexen Zahlen 267
8.2 Summen von Quadraten 280
8.3 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 286
8.4 Origami 299
Weitere Aufgaben zum letzten Kapitel 305
9 Lösungshinweise zu den *-Übungsaufgaben 311
9.1 Logeleien 311
9.2 Das MU-Rätsel 315
9.3 Die Kaprekar-Konstante 318
9.4 Pascals Dreieck und der binomische Lehrsatz 320
9.5 Gierige Stammbrüche 324
9.6 Wie lange läuft der euklidische Algorithmus? 327
9.7 Unteilbar und selten: Primzahlen 330
9.8 Kalenderarithmetik 333
9.9 Eine diophantische Kryptoattacke 335
9.10 CD-Player und Codierung 338
9.11 Primitivwurzeln 341
9.12 Die Kochsche Insel 344
9.13 Die Kunst der Hochstapelei 348
9.14 Kannibalische Käfer 352
9.15 Das Unendliche 355
9.16 Newton-Näherung und Kettenbrüche 359
9.17 Kopulierende Kaninchen 362
9.18 Ganzzahlige Punkte auf Hyperbeln 365
9.19 Rechte Winkel und Quadrate en masse 367
9.20 Zahlkörper 373
9.21 Wie GPS-Navigation funktioniert 377
9.22 Die abc-Vermutung 380
10 Ende: Nach dem Spiel ist vor dem Spiel... 385
Literatur 389
Sachverzeichnis 391