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Vorwort 11
Hinweise zu den Graphik-Programmen 13
1 Einleitung: Wie alles anfing 16
1.1 Henri Poincare 18
1.-2 Balthasar van der Pol 19
1.3 Edward Lorenz 20
1.4 Michel Henon 21
1.5 Robert May 22
1.6 James Yorke 23
1.7 Stephen Smale 23
1.8 Mitchell Feigenbaum 24
1.9 David Ruelle 25
1.10 Benoit Mändelbrot 26
1.11 Michael Barnsley 27
1.12 Aristid Lindenmayer 28
2 Die logistische Gleichung 30
2.1 Dynamik der logistischen Gleichung 31
2.3 Das Feigenbaum-Diagramm 34
2.4 Exakte Lösung im Chaos-Fall 35
2.5 Die invariante Dichte 36
2.6 Berechnung des Ljapunow-Exponenten 38
2.6 Numerische Berechnung des Ljapunow-Exponenten 41
2.7 Das Entropiemaß 43
2.8 Das Fourier-Spektrum 44
2.9 Die Korrelationsfunktion 47
2.10 Aufgaben..... 49
3 Kreisgleichüng (Circle Map) 50
3.1 Fixpunkte 51
3.2 Der Fall K nahe Null 52
3.3 Der Fall K=l ..57
3.4 Der Fall K>1 ..58
4 Zweidimensionale logistische Gleichung 60
4.1 Gekoppelte einparametrige Gleichung 60
4.2 Gekoppelte, zweiparametrige Gleichung 62
4.3 Kanekol 65
4.4 Kaneko II 67
5 Henon-Abbildung 69
5.1 Fixpunkte der Henon-Gleichung 70
5.2 Berechnung der Ljapunow-Exponenten 73
5.3 Die Kaplan-Yorke Vermutung 74
5.4 Die Kapazität 75
5.5 Das Korrelationsintegral 77
5.6 Bifurkationsdiagramm 79
6 Lorenz-Gleichungen 80
6.1 Dynamik des Lorenz-Systems 82
6.2 Lorenz-Map 85
6.3 Berechnung der Ljapunow-Exponenten 86
7 Attraktoren 89
7.1 Rössler-Attraktor 89
7.2 Metzler-Attraktor 91
7.3 Ikeda-Attraktor 93
7.4 Ueda-Attraktor 94
7.5 Duffing-Attraktor 97
7.6 Lozi-Gleichung 99
7.7 Rayleigh-Gleichung 100
7.8 Tomita-Gleichung 101
8 Konservative Systeme und das KAM-Theorem 103
8.1 Quadratische Henon-Gleichurig 103
8.2 Das KAM-Theorem 106
8.3 Henon-Heiles-System 107
8.4 Twist-Map 110
8.5 Standard-Abbildung 112
8.5 McKay-Abbildung 114
8.6 Ergänzungen 117
9 Iterative Systeme 118
9.1 Sinai-Gleichungen 118
9.2 Katzen-Abbildung 119
9.3 Bäcker-Abbildung 122
9.4 Hufeisen-Abbildung 123
9.5 Martin-Abbildung 125
9.6 Mira-Abbildung 126
9.7 Pickover-Abbildung 128
9.8 Ergänzungen und Anregungen 129
10 Das Chaosspiel 132
10.1 Sierpinski-Dreieck 132
10.2 Menger-Teppich 134
10.3 Dürer-Fünfeck 135
10.4 Drehsymmetrisches Sechseck 137
10.5 Beispiel einer Kreisinversien 138
11 Fraktale Kurven 140
11.1 Länge von Küstenlinien 140
11.2 Die fraktale Dimension 141
11.3 Die Cantor-Menge 142
11.4 Die Teufelstreppe 143
11.5 Cantor-Quadrat 145
11.6 Sierpinski-Dreieck 147
11.7 Menger-Teppich 148
11.8 Koch-Kurve 150
11.9 Koch-2 153
11.10 Koch 3 155
12 Fraktale Kurven 2 156
12.1 Kreuzstichkurve 156
12.2 Eiskurven 158
12.3 Caesäro-Kurve 159
12.4 Levy-Kurve 161
12.5 Drachenkurve 164
12.6 Drachen-2 165
12.7 Cayley-Baum 167
12.8 Symmetrischer Pythagoras-Baum 169
12.9 Schiefer Pythagorasbaum 170
12.10 Alternierender Pythagoras-Baum 172
12.11 Peano-Kurve 174
13 Iterierte Funktionssysteme (IFS) 177
13.1 IFS-Code des Farns 177
13.2 Variationen des Farn-Codes 180
13.3 Weitere IFS-Codes für Bäume 182
13.4 Collage-Theorem 184
13.5 Sierpinski-Dreieck 186
13.6 Koch-Kurve 187
13.7 Deterministisches IFS-Programm 189
13.8 3D-Darstellung eines IFS 191
13.9 Ausblicke und Ergänzungen 192
14 Lindenmayer-Systeme 195
14.1 Definition von L-Systemen 195
14.2 Die Türtle-Interpretation 196
14.3 Pflanzel 197
14.4 Weitere Pflanzen von Lindenmayer 199
14.5 Koch-Kurve 200
14.6 Drachenkurve 201
14.7 Pfeilspitzkurve 203
14.8 Hexagonale Gosper-Kurve 203
14.9 Kreuzstichkurve 204
14.10 Hilbert-Kurve 205
14.11 Minkowski-Kurve 206
15 Julia-Mengen 207
15.1 Eigenschaften von Julia-Mengen 208
15.2 Die inverse Iteration 209
15.3 Modifizierte inverse Iteration 213
15.4 EscaperTime-Algorithmus 215
15.5 Distanz-Verfahren 216
15.6 Binäre Dekompösitions-Methode 218
15.7 Julia-Menge z.= sin(z) 219
15.8 Juliamenge z = exp(z)+C 221
15.9 Newton-Verfahren .223
15.10 Ergänzung 226
16 Mandelbrot-Menge 226
16.1 Dynamik der Mandelbrot-Menge 227
16.2 Eigenschaften der Mandelbrot-Menge 229
16.3 Escape-Time Algorithmus 230
16.4 Distanz-Methode 232
16.5 Mandelbrot-Menge einer Sinusfunktion 233
16.6 Mandelbrot-Menge einer Exponentialfunktion 235
17 Anwendungen 1 237
17.1 Chemie: Brüsselator 237
17.2 Astronomie: Saturnringel 240
17.3 Elektronik: Dioden-Schwingkreis 242
17.4 Elektronik: Van-der-Pol-Oszillator 244
17.5 Physik: Nichtlineares Pendel 247
17.6 Physik: Diskretes Newton-Verfahren 254
17.7 Physik: Ising-Modell 255
18 Anwendungen II 256
18.1 Biologie: Lotka-Volterra-Gleichungen 256
18.2 Biologie: Modell von Metz 259
18.3 Biologie: Modell von Crofton 261
18.5 Zellularautomat mit 3 Nachbarn 264
: 18.6 Zellularautomaten mit 5 Nachbarn 266
18.7 Zellularautomat von Pickover 269
18.8 Cluster-Bildung (DLA) 271
19 Kleines Lexikon der Chaostheorie 274
20 Literaturverzeichnis 284
Index 287