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Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einsteinsche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Die vorliegende 4. Auflage wurde sorgfältig verbessert, der Text wurde in die neue Rechtschreibung gebracht.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Tangentenvektoren - Tensoren - Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten - Spezielle Relativitätstheorie - Differentialformen - Kovariante Ableitung von Vektorfeldern - Krümmung - Materie - Geodäten - Kovariante Differentiation von Tensorfeldern - Lie-Ableitung - Integration auf Mannigfaltigkeiten - Nichtrotierende Schwarze Löcher - Kosmologie - Rotierende Schwarze Löcher

Aus dem Inhalt:

Einführung 1 // 1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 9 / 1.1 Karten und Atlanten 9 / 1.2 Topologisierung 13 / 1.3 Untermannigfaltigkeiten von Km 14 // 2 Tangentenvektoren 19 / 2.1 Der Tangentialraum 19 / 2.2 Erzeugung von Tangentenvektoren 21 / 2.3 Vektorfelder 24 / 2.4 Die Lie-Klammer 25 // 3 Tensoren 28 / 3.1 Einführung 28 / 3.2 Multilinearformen 29 / 3.3 Komponenten 31 / 3.4 Operationen mit Tensoren 33 / 3.5 Tensoren auf euklidischen Räumen 35 // 4 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten 39 / 4.1 Tensorfelder 39 / 4.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten f 41 / 4.3 Bilinearformen 42 / 4.4 Orientierung : 45 / 4.5 Raumzeit 48 // 5 Spezielle Relativitätstheorie 52 / 5.1 Kinematik 52 / 5.2 Dynamik 57 / 5.3 Elektrodynamik 59 // 6 Differentialformen 62 / 6.1 p- Formen 62 / 6.2 Das Keilprodukt 64 / 6.3 Der Hodge-Stern-Operator 65 / 6.4 Äußere Differentiation 69 / 6.5 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum 76 // 7 Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern 79 / 7.1 Die Richtungsableitung in Rn 79 / 7.2 Der Levi-Civita-Zusammenhang 80 / 7.3 Christoffel-Symbole 82 / 7.4 Kovariante Ableitung auf Hyperflächen 84 / 7.5 Die kovariante Ableitung in der Schwarzschild-Raumzeit 87 // 8 Krümmung 89 / 8.1 Der Krümmungstensor 89 / 8.2 Die Weingarten-Abbildung 92 / 8.3 Der Ricci-Tensor 97 / 8.4 Die Krümmung der Schwarzschild-Raumzeit 99 / 8.5 Zusammenhangsformen und Krümmungsformen 101 // 9 Materie 108 / 9.1 Masse 108 / 9.2 Energie und Impuls einer Strömung 109 / 9.3 Der Energie-Impuls-Tensor 112 / 9.4 Ladung / 115 / 9.5 Energie und Impuls im elektromagnetischen Feld 117 / 9.6 Die Einsteinsche Feldgleichung 122 / 9.7 Kugelsymmetrische Lösungen 123 / 9.8 Äußere und innere Schwarzschild-Metrik 126 // 10 Geodäten 130 / 10.1 Zeit 130 / 10.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen 132 / 10.3 Die Geodätengleichung 133 / 10.4 Die geodätische Abweichung 137 / 10.5 Periheldrehung 142 / 10.6 Lichtablenkung 146 / 10.7 Rotverschiebung 148 // 11 Kovariante Differentiation von Tensorfeldern 150 / 11.1 Paralleltransport von Vektoren 150 / 11.2 Paralleltransport von Tensoren 153 / 11.3 Rechenregeln und Komponentendarstellung 155 / 11.4 Die zweite Bianchi-Identität 158 / 11.5 Divergenz 159 // 12 Die Lie-Ableitung 162 / 12.1 Der Fluss und seine Tangenten 162 / 12.2 Pull-back und Push-forward 164 / 12.3 Axiomatischer Zugang 168 / 12.4 Die Ableitungsformel : 169 / 12.5 Komponentendarstellung 171 / 12.6 Killing-Vektoren 172 / 12.7 Die Lie-Ableitung von Differentialförmen 174 // 13 Integration auf Mannigfaltigkeitenv 176 / 13.1 Einführung 176 / 13.2 Zerlegung der Eins 177 / 13.3 Integrale , T 181 / 13.4 Berandete Mannigfaltigkeiten 184 / 13.5 Integralsätze 185 / 13.6 Extremalprinzipien 187 // 14 Nichtrotierende''Schwarze Löcher 193 / 14.1 Die Schwarzschild-Halbebene 193 / 14.2 Optik Schwarzer Löcher 198 / 14.3 Die Kruskal-Ebene 202 // 15 Kosmologie 206 / 15.1 Räume konstanter Krümmung 206 / 15.2 Die Robertson-Walker-Metrik 210 / 15.3 Weltmodelle 214 // 16 Rotierende Schwarze Löcher 218 / 16.1 Die Kerr-Metrik 218 / 16.2 Andere Darstellungen der Kerr-Metrik 221 / 16.3 Kausale Struktur 224 / 16.4 Kovariante Ableitung und Krümmung 226 / 16.5 Erhaltungssätze 230 // Literaturverzeichnis 235 // Index 237