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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MG Behr / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Das sich vorzugsweise an Studierende der Mathematik richtende Werk beschäftigt sich mit dem Studium von Parkettierungen der Ebene und behandelt hier drei spezielle Aspekte interessanten mathematischen Hintergrunds.

 

 

 

 

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben.

 

 

 

 

In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann.

 

 

Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie.

 

 

Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Einleitung 1 // Teil I Escher über die Schulter gesehen // 2 Symmetrien und Fundamentalbereiche 11 / 2.1 Was ist Symmetrie? 11 / 2.2 Welche Bewegungen gibt e s ? 13 / 2.3 Gruppen von Bewegungen 19 / 2.4 Diskontinuierliche Gruppen und Fundamentalbereiche 24 // 3 Die diskontinuierlichen Symmetriegruppen der Ebene 27 / 3.1 Wie viele verschiedene Gruppen von Bewegungen gibt es? 27 / 3.2 Endliche Gruppen von Bewegungen 33 / 3.3 Die Untergruppe der Translationen 38 / 3.4 Die 7 Friesgruppen 41 / 3.4.1 F1: nur Translationen (nnnn) 45 / 3.4.2 F1.1 : nur Spiegelungen vom Typ 1 (jnnn) 46 / 3.4.3 F2.1 : nur Spiegelungen vom Typ 2 (njnn) 47 / 3.4.4 F3.1 : echte Gleitspiegelungen (nnnj) 48 / 3.4.5 F2 : nur Rotationen (ttnjjt) 50 / 3.4.6 F1.2: Rotationen, Typ-1- undTyp-2-Spiegelungen (jjjn ) 51 / 3.4.7 F2.2 : echte Gleitspiegelungen, Typ-2-Spiegelungen und Rotationen (njjj) 52 / 3.4.8 Zusammenfassung 53 / 3.4.9 Klassifikation: Ein Test 53 / 3.4.10 Hinweise für Künstler 55 / 3.5 Die 17 ebenen Kristallgruppen 55 / 3.5.1 Die kristallographische Restriktion 56 / 3.5.2 Translationen, Spiegelungen: 4 Gruppen 58 / 3.5.3 Translationen, 2-Rotationen, Spiegelungen: 5 Gruppen 71 / 3.5.4 Translationen, 3-Rotationen, (Gleit-)Spiegelungen: 3 Gruppen 79 / 3.5.5 Translationen, 4-Rotationen, Spiegelungen: 3 Gruppen 86 / 3.5.6 Translationen, 6-Rotationen, Spiegelungen: 2 Gruppen 91 / 3.5.7 Klassifikation: Ein Test 93 // 4 Die Heesch-Konstruktionen 103 / 4.1 Gitter und Netze 104 / 4.2 Die Heesch-Konstruktionen: Motivation 111 / 4.3 Die Heesch-Konstruktionen: 28 Verfahren 114 // Literatur zu Teil I 143 // Teil II Möbiustransformationen // 5 Möbiustransform ationen 147 / 5.1 Komplexe Zahlen: einige Erinnerungen 147 / 5.2 Möbiustransformationen: Definitionen und erste Ergebnisse 149 / 5.3 Möbiustransformationen und K reise 153 / 5.4 Fixpunkte von Möbiustransformationen 159 / 5.5 Konjugierte Möbiustransformationen 161 / 5.6 Charakterisierung: Fixpunkte in {0, oo} 162 / 5.7 Charakterisierung: der allgemeine Fall 170 / 5.8 Wunschzettel/Visualisierung 175 // 6 Gruppen von Möbiustransform ationen 179 / 6.1 Erste Beispiele für Gruppen von Möbiustransformationen 180 / 6.2 Fundamentalbereiche und diskrete Gruppen 181 / 6.3 Spezielle Möbiustransformationen 184 / 6.4 Exkurs: hyperbolische Geometrie 193 / 6.4.1 Hyperbolische Geometrie I: die obere Halbebene H 194 / 6.4.2 Hyperbolische Geometrie II: der Einheitskreis U 200 / 6.5 Die modulare G ruppe 201 / 6.6 Gruppen mit zwei E rzeugern 206 / 6.7 Schottkygruppen 208 / 6.8 Das Mysterium des parabolischen Kommutators 221 / 6.9 Die Struktur Kleinscher Gruppen 229 / 6.9.1 Die isometrischen Kreise 229 / 6.9.2 Die Limesmenge 233 / 6.9.3 Ein Fundamentalbereich 237 / 6.10 Parabolische Kommutatoren: Konstruktion 241 // Literatur zu Teil II 247 // Teil III Penroseparkettierungen // 7 Penroseparkettierungen 251 / 7.1 Nichtperiodische Parkettierungen: Das Problem 252 / 7.2 Die "goldenen" Penrose-Dreiecke 255 / 7.3 Welche Parkettierungen sind möglich? 259 / 7.4 Indexfolgen erzeugen Parkettierungen 265 / 7.5 Isomorphien von Penroseparkettierungen 274 / 7.6 Ergänzungen 278 // Literatur zu Teil III 281 / Sachverzeichnis 283