Eine solide Einführung in die elementare Numerik, vorzugsweise für Studierende der Mathematik für das Lehramt Sekundarstufe I, aber auch für bereits in der Praxis stehende Lehrkräfte.
Es gibt zahlreiche Lehrbücher zur Numerischen Mathematik, die jedoch in der Regel für die Ausbildung angehender Mathematiker/innen oder Ingenieure/innen geschrieben und auf deren spätere Berufspraxis gerichtet sind. Das vorliegende Lehrbuch widmet sich diesem auch für den Mathematikunterricht wichtigen Gebiet mit Blick auf angehende Lehrkräfte. Auf elementare Weise werden Phänomene rund um „ungenaue Zahlen“ zum Anlass genommen, die Bedeutung von Näherungswerten, Näherungsverfahren und Fehlerfortpflanzung (auf dem Niveau der Mathematik in der Sekundarstufe) deutlich zu machen. Dabei werden diese Aspekte einerseits durch den Einsatz von Computern betont, andererseits wird aber der Kulturtechnik des Überschlagsrechnens ohne Computer ein breiter Raum gegeben. So können Ergebnisse, die der Computer liefert, ohne Computer plausibilisiert werden. Zahlreiche Übungsaufgaben runden dieses Lehrbuch, das vor allem für die Aus- und Weiterbildung von SI-Lehrkräften geschrieben wurde, ab.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Zahlen im Alltag 1
1.1 Wie genau können (sollen, müssen) Zahlen sein? 1
1.1.1 Gewinnchancen beim Lotto 1
1.1.2 Wer den Cent nicht ehrt 3
1.1.3 Zeitmessung beim Sport 6
1.1.4 Der Hengsteysee 11
1.1.5 Geografische Koordinaten 14
1.1.6 IP-Adressen 17
1.2 Überschlagsrechnen 20
1.2.1 Erste Beispiele 20
1.2.2 Prinzipien und Strategien 28
1.2.3 Weitere Beispiele 32
1.2.4 Anmerkungen 40
1.3 Faustregeln 44
1.3.1 Einheiten umrechnen 45
1.3.2 Komplexere funktionale Zusammenhänge SO
1.4 Große Zahlen, kleine Zahlen 63
1.4.1 ...im Alltag 63
1.4.2 ... in der Mathematik 71
1.5 Das Benford-Gesetz 78
1.5.1 Einleitung 79
1.5.2 Anwendungen 81
1.5.3 Skaleninvarianz und die Hypothese der Gleichverteilung 83
1.5.4 Gleichverteilung der logarithmierten Werte 88
2 Mathematische Aspekte ungenauer Zahlen 93
2.1 Phänomene 93
2.1.1 Genaue Zahlen - gibt's die überhaupt? 93
2.1.2 Merkwürdiges beim Rechnen mit ungenauen Zahlen 98
2.2 Grundbegriffe 104
2.2.1 Absolute und relative Fehler, Fehlerschranken 104
2.2.2 Rundungsfehler, signifikante Ziffern 106
2.2.3 Gleitkommazahlen 111
2.2.4 Aufgaben zu 2.2 114
2.3 Rechnen mit ungenauen Zahlen IIS
2.3.1 Die Regeln der Ziffernzählung IIS
2.3.2 Rechnen in Gleitkommaarithmetik 120
2.3.3 Differenz annähernd gleicher Näherungswerte - Auslöschung führender Ziffern 124
2.3.4 Aufgaben zu 2.3 131
2.4 Fehlerfortpflanzung 133
2.4.1 Intervallrechnung 134
2.4.2 Fehlerfortpflanzungsregeln in Termen mit den Grundrechenarten 139
2.4.3 Fehlerfortpflanzungsregeln bei Funktionen 145
2.4.4 Aufgaben zu 2.4 154
3 Praktisches Rechnen - mit und ohne Werkzeug 159
3.1 Potenzen 159
3.1.1 Näherungen für Potenzen mit großen Exponenten 159
3.1.2 Ein sparsamer Algorithmus zum Potenzieren 163
3.1.3 Sehr große Exponenten 165
3.1.4 Aufgaben zu 3.1 168
3.2 Wurzeln 169
3.2.1 Schätzen von Quadratwurzeln 170
3.2.2 Wurzeln aus "kleinen" Quadratzahlen ohne TR 172
3.2.3 Wurzeln aus 20-stelligen Quadratzahlen 177
3.2.4 Höhere Wurzeln 181
3.2.5 Das Heron-Verfahren 188
3.2.6 Aufgaben zu 3.2 193
3.3 Die Berechnung von n 194
3.3.1 Wie viele Dezimalstellen braucht der Mensch? 194
3.3.2 Archimedes und seine Nachfolger 198
3.3.3 Analytische Methoden 207
3.3.4 Aufgaben zu 3.3 216
3.4 Trigonometrische Funktionen 219
3.4.1 Die Sehnentafeln des Ptolemäus : . . 220
3.4.2 Halbieren und Verdoppeln 224
3.4.3 Der CORDIC-Algorithmus 230
3.4.4 Aufgaben zu 3.4 237
4 Lösen von Gleichungen 239
4.1 Qualitative Analysen und erste Ideen 239
4.1.1 Grundsätzliches 239
4.1.2 Die grafische Methode 244
4.1.3 Numerisches Lösen 246
4.1.4 Ein Suchalgorithmus 248
4.1.5 Aufgaben zu 4.1 250
4.2 Rekursive Folgen 253
4.2.1 Lineare Rekursionstenne 253
4.2.2 Rekursionsterme mit Reziproken 257
4.2.3 Tenne mit Wurzeln oder Quadraten 261
4.2.4 Aufgaben zu 4.2 265
4.3 Fixpunktgleichungen 267
4.3.1 Das Iterationsverfahren 267
4.3.2 Weitere Beispiele und Ergänzungen 277
4.3.3 Theoretische Hintergründe 283
4.3.4 Aufgaben zu 4.3 290
4.4 Das Newton-Verfahren 292
4.4.1 Herleitung und erste Beispiele 292
4.4.2 Konvergenzkriterien 296
4.4.3 Ergänzungen 302
4.4.4 Aufgaben zu 4.4 306
5 Numerische Integration 309
5.1 Beschreibung der grundsätzlichen Problematik 309
5.2 Die Rechteckformeln 311
5.3 Mittelpunkt-und Trapezformel 313
5.3.1 Mittelpunktformel 313
5.3.2 Trapezformel 314
5.3.3 Aufgaben zu 5.3 322
5.4 Die Simpsonformel 323
5.4.1 Aufgaben zu 5.4 330
5.5 Einfache Fehlerabschätzungen und Verbesserungen der Mittelpunkt- und o Trapezregel 331
5.5.1 Fehlerabschätzungen bei den Rechteckformeln 331
5.5.2 Fehlerabschätzungen bei der Mittelpunkt-und Trapezformel . . . 333
5.5.3 Verbesserte Mittelpunkt-und Trapezformeln 339
5.5.4 Aufgaben zu 5.5 341
6 Lineare Gleichungssysteme 343
6.1 Algebraisch alles im Griff, aber 343
6.1.1 Aufgaben zu 6.1 348
6.2 Gauß-Elimination 349
6.2.1 Aufgaben zu 6.2 361
6.3 Gut und schlecht konditionierte lineare Gleichungssysteme 361
6.3.1 Die Kondition einer Matrix 362
6.3.2 Residuen 368
6.3.3 Aufgaben zu 6.3 369
6.4 Iterationsverfahren 370
6.4.1 Aufgaben zu 6.4 380
6.5 Vereinfachte Computertomografie und ein anderes Iterationsverfahren . . 381
Literatur 387
Sachverzeichnis 389