Lehrbuch zu den elementareren Bereichen der Numerik für Studierende der Mathematik oder der Informatik. - Das Lehrbuch behandelt die elementareren Bereiche der Numerik, setzt dabei aber Kenntnisse aus den Einführungsvorlesungen voraus. "Das Thema ist sehr ausführlich und mit begrifflicher Sorgfalt, Fragen der Genauigkeit und des Rechenaufwands beachtend, dargestellt ... Jeder Abschnitt endet mit einer Vielzahl von Aufgaben ... - Empfehlenswert." - so beurteilte Wolfgang Grölz die 1. Auflage (ID 20/01). Die Neuauflage erscheint nun deutlich erweitert, u.a. um die Darstellung der wichtigsten numerischen Verfahren in Form von MATLAB-Skripten und ein neues Kapitel zur Methode der kleinsten Quadrate. - Für Studierende der Mathematik oder der Informatik im Grundstudium. (3)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort zur ersten Auflage V
Vorwort zur zweiten Auflage VII
1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens 1
1.1 Numerische Algorithmen und Fehler 1
1.2 Fehlerfortpflanzung, Kondition und numerische Instabilität 7
1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik 17
1.4 Aufgaben 28
2 Lineare Gleichungssysteme 35
2.1 Auflösung gestaffelter Systeme 35
2.2 LfJ-Faktorisierung und Gauß-Elimination 39
2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration 45
2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften 61
2.4.1 Positiv definite Systeme 61
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 66
2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison 71
2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 75
2.5.1 Normen 75
2.5.2 Singulärwertzerlegung, SVD 80
2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition 86
2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination 92
2.6 Iterative Verfahren 101
2.6.1 Konvergenz der Nachiteration 101
2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix 103
2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren 105
2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren 116
2.7 Aufgaben 126
3 Eigenwertprobleme 135
3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 135
3.1.1 Stetigkeitsaussagen 137
3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen 140
3.1.3 Gerschgorin Kreise 141
3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode 145
3.2.1 Das Grundverfahren 145
3.2.2 Inverse Potenzmethode 150
3.2.3 Deflationstechniken 152
3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: Qß-Methode 154
3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen 155
3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen 159
3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen . . 161
3.3.4 Qi?-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme 166
3.4 Aufgaben 171
4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen 177
4.1 Problemstellung 177
4.2 Fixpunkt-Iteration 181
4.3 Newton-Verfahren 186
4.4 Das Verfahren von Müller 194
4.5 Intervall-Verfahren 197
4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren 200
4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung 208
4.8 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren 214
4.8.1 Dämpfungsstrategien 214
4.8.2 Homotopieverfahren 217
4.9 Nullstellen reeller Polynome 220
4.9.1 Anwendung des Newton-Verfahrens 220
4.9.2 Das QD-Verfahren 232
4.10 Aufgaben 239
5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen 247
5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen 247
5.2 Newton-Verfahren 250
5.3 Quasi-Newton-Verfahren 256
5.4 Das Verfahren von Brown 262
5.5 Deflationstechniken 268
5.6 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen 273
5.7 Aufgaben 275
6 Interpolation und Polynom-Approximation 281
6.1 Taylor-Polynome 282
6.2 Interpolation und Lagrange-Polynome 286
6.3 Iterierte Interpolation 293
6.4 Dividierte Differenzen 299
6.5 Hermite-Interpolation 310
6.6 Kubische Spline-Interpolation 319
6.7 Trigonometrische Interpolation, DFT und FFT 331
6.8 Aufgaben 346
7 Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate 351
7.1 Diskrete Kleinste-Quadrate Approximation 351
7.1.1 Polynomapproximationen 351
7.1.2 Empirische Funktionen 358
7.1.3 Nichtlineare Approximation 365
7.2 Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 369
7.2.1 Polynomapproximation 369
7.2.2 Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 373
7.2.3 Harmonische Analyse 375
7.2.4 Konstruktion von Orthogonalsystemen 378
7.3 Aufgaben 389
8 Numerische Differentiation und Integration 395
8.1 Numerische Differentiation 396
8.1.1 Beliebige Stützstellenverteilung 396
8.1.2 Äquidistante Stützstellenverteilung 402
8.1.3 Numerische Differentiation mit gestörten Daten 404
8.1.4 Differentiationsformeln ohne Differenzen 406
8.1.5 Extrapolation nach Richardson 412
8.2 Numerische Integration . 416
8.2.1 Grundformeln zur Integration 417
8.2.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln 427
8.2.3 Adaptive Techniken 433
8.2.4 Romberg-Integration 436
8.2.5 Gaußsche Quadraturformeln 442
8.3 Aufgaben 449
9 Kleinste-Quadrate-Lösungen 455
9.1 Einführung 455
9.2 Eigenschaften der Qi?-Faktorisierung 457
9.3 Gram-Schmidt-Verfahren 459
9.4 Kleinste Quadrate Probleme 463
9.5 Methode der Normalengleichungen 469
9.6 LS-Lösung mittels Qß-Faktorisierung 474
9.7 LS-Lösung mittels MGS 477
9.8 Schnelle Givens LS-Löser 480
9.9 Das LS-Problem für eine Matrix mit Rangabfall 482
9.10 Aufgaben 490
Literaturverzeichnis 495
Liste der verwendeten Symbole 505
Verzeichnis der Algorithmen 507
Verzeichnis der Matlab-Programme 509
Tabellenverzeichnis 511
Abbildungsverzeichnis 513
Index 515