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Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel'sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form - und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk "Grenzen der Mathematik" erschienen. (Verlagsinformation)

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Einleitung 13 / 1.1 Die axiomatische Methode 14 / 1.2 Formale Systeme 18 / 1.3 Metamathematik 26 / 1.3.1 Widerspruchsfreiheit 28 / 1.3.2 Vollständigkeit 31 / 1.3.3 Hilbert-Programm 33 / 1.4 Die Unvollständigkeitssätze 38 / 1.4.1 Der erste Unvollständigkeitssatz 38 / 1.4.2 Der zweite Unvollständigkeitssatz 39 / 1.5 Die Gödel'sche Arbeit 40 / / 2 Die formalen Grundlagen der Mathematik 43 / 2.1 Das logizistische Programm 43 / 2.1.1 Begriffsschrift 44 / 2.1.2 Axiome der Begriffsschrift 46 / 2.1.3 Formalisierung der Arithmetik 49 / 2.2 Die natürlichen Zahlen 52 / 2.2.1 Arithmetices principia 53 / 2.2.2 Axiome der Arithmetices principia 56 / 2.2.3 Isomorphiesatz von Dedekind 60 / 2.3 Principia Mathematica 66 / 2.3.1 Satz von Cantor 70 / 2.3.2 Die Russell'sche Antinomie 75 / 2.3.3 Typentheorie 84 / 2.3.4 Die Logik der Principia 89 / 2.4 Axiomatische Mengenlehre 97 / 2.4.1 Kontinuumshypothese 99 / 2.4.2 Wohlordnungssatz 101 / 2.4.3 Zermelos Beweis in der Kritik 109 / 2.4.4 Das Zermelo'sche Axiomensystem 113 / / 3 Beweisskizze 119 / 3.1 Arithmetische Formeln 120 / 3.2 Arithmetisierung der Syntax 127 / 3.3 Ich bin unbeweisbar! 131 / 3.4 Gödel, Richard und der Lügner 136 / 3.4.1 Das Lügner-Paradoxon 137 / 3.4.2 Die Richard'sche Antinomie 139 / 3.4.3 Wann ist ein formales System betroffen? 142 / / 4 Das System P 147 / 4.1 Syntax 148 / 4.1.1 Terme und Formeln 150 / 4.1.2 Substitutionen 154 / 4.2 Semantik 157 / 4.2.1 Definition der Gleichheit 160 / 4.2.2 Definition der natürlichen Zahlen 162 / 4.3 Axiome und Schlussregeln 162 / 4.4 Formale Beweise 168 / 4.4.1 Aussagenlogische Theoreme 172 / 4.4.2 Hypothesenbasiertes Beweisen 184 / 4.4.3 Prädikatenlogische Theoreme 188 / 4.4.4 Theoreme über die Gleichheit 191 / 4.4.5 Numerische Theoreme 196 / 4.5 Arithmetisierung der Syntax 207 / / 5 Primitiv-rekursive Funktionen 213 / 5.1 Definition und Eigenschaften 213 / 5.2 Auswahl primitiv-rekursiver Funktionen und Relationen 230 / 5.3 Entscheidungsverfahren 270 / 5.4 Satz V 274 / / 6 Die Grenzen der Mathematik 289 / 6.1 Gödels Hauptresultat 289 / 6.1.1 Unvollständigkeit des Systems P 292 / 6.1.2 Folgerungen aus dem Hauptresultat 299 / 6.2 Der erste Unvollständigkeitssatz 307 / 6.2.1 Unvollständigkeit der Arithmetik 307 / 6.2.2 Folgen für den engeren Funktionenkalkül 320 / 6.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz 340 / / 7 Epilog 349 / / Literaturverzeichnis 351 / Bildnachweis 357 / Namensverzeichnis 359 / Sachwortverzeichnis 363