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Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen. Wir beginnen mit einigen ganz konkreten Beispielen aus den Natur-, Ingenieur und Wirtschaftswissenschaften. Danach werden elementare Lösungsmethoden dargestellt, z.B. für die Black-Scholes-Gleichung aus der Finanzmathematik. Schließlich wird die analytische Untersuchung großer Klassen von partiellen Differenzialgleichungen dargestellt, wobei Hilbert-Raum-Methoden im Mittelpunkt stehen.

Numerische Verfahren werden eingeführt und mit konkreten Beispielen behandelt.

Zu jedem Kapitel finden sich Übungsaufgaben, mit deren Hilfe der Stoff eingeübt und vertieft werden kann.

Dieses Buch richtet sich an Studierende im Bachelor oder im ersten Master-Jahr sowohl in der (Wirtschafts-)Mathematik als auch in den Studiengängen Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen, an vielen Stellen didaktisch weiter optimiert und um die Beschreibung variationeller Methoden in Raum und Zeit für zeitabhängige Probleme ergänzt.

Stimme zur ersten Auflage

Auf dieses Lehrbuch haben wir gewartet.

Prof. Dr. Andreas Kleinert in zbMATH

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt 1 / 1.1 Mathematische Modellierung 2 / 1.2 Transportprozesse 4 / 1.3 Diffusion 8 / 1.4 Die Wellengleichung 9 / 1.5 Die Black-Scholes-Gleichung 11 / 1.6 Jetzt wird es mehrdimensional 17 / 1.7* Es gibt noch mehr 22 / 1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen 29 / 1.9* Kommentare zu Kapitel 1 30 / 1.10 Aufgaben 31 // 2 Kategorisierung und Charakteristiken 33 / 2.1 Charakteristiken von Anfangswertproblemen auf R 34 / 2.2 Gleichungen zweiter Ordnung 43 / 2.3* Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung 47 / 2.4* Gleichungen höherer Ordnung und Systeme 48 / 2.5 Aufgaben 49 // 3 Elementare Lösungsmethoden 53 / 3.1 Die eindimensionale Wellengleichung 54 / 3.2 Fourier-Reihen 58 / 3.3 Die Laplace-Gleichung 66 / 3.4 Die Wärmeleitungsgleichung 76 / 3.5 Die Black-Scholes-Gleichung 90 / 3.6 Integraltransformationen 96 / 3.7 Ausblick 109 / 3.8 Aufgaben 110 // 4 Hilbert-Räume 115 / 4.1 Unitäre Räume 116 / 4.2 Orthonormalbasen 119 / 4.3 Vollständigkeit 123 / 4.4 Orthogonale Projektionen 125 / 4.5 Linearformen und Bilinearformen 127 / 4.6 Schwache Konvergenz 134 / 4.7 Stetige und kompakte Operatoren 136 / 4.8 Der Spektralsatz 137 / 4.9* Kommentare zu Kapitel 4 146 / 4.10 Aufgaben 148 // 5 Sobolev-Räume und Randwertaufgaben in einer Dimension 151 / 5.1 Sobolev-Räume in einer Variablen 152 / 5.2 Randwertprobleme auf einem Intervall 160 / 5.3* Kommentare zu Kapitel 5 169 / 5.4 Aufgaben 170 // 6 Hilbert-Raum-Methoden für elliptische Gleichungen 173 / 6.1 Regularisierung 174 / 6.2 Sobolev-Räume über ü CW^ 180 / 6.3 Der Raum H¹ 187 / 6.4 Die Verbandsoperationen auf 191 / 6.5 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 194 / 6.6 Sobolev-Räume und Fourier-Transformation 198 / 6.7 Lokale Regularität 204 / 6.8 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen 209 / 6.9 Das Dirichlet-Problem 211 / 6.10 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingimgen 220 / 6.11 H²-Regularität 222 / 6.12* Kommentare zu Kapitel 6 225 / 6.13 Aufgaben 226 // 7 Neumann- und Robin-Randbedingungen 231 / 7.1 Der Satz von Gauß 232 / 7.2 Beweis des Satzes von Gauß 237 / 7.3 Die Fortsetzungseigenschaft 243 / 7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen 247 / 7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen 251 / 7.6* Kommentare zu Kapitel 7 254 / 7.7 Aufgaben 254 // 8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen 259 / 8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem 260 / 8.2 Die Wärmeleitungsgleichung: Dirichlet-Randbedingungen 263 / 8.3 Die Wärmeleitungsgleichung: Robin-Randbedingungen 269 / 8.4 Die Wellengleichung 272 / 8.5 Inhomogene Evolutionsgleichungen 276 / 8.6* Raum/Zeit-Variationsformulierungen 283 / 8.7* Kommentare zu Kapitel 8 287 / 8.8 Aufgaben 287 // 9 Numerische Verfahren 291 / 9.1 Finite Differenzen für elliptische Probleme 293 / 9.2 Finite Elemente für elliptische Problem e 307 / 9.3* Ergänzungen und Erweiterungen 330 / 9.4 Parabolische Problem e 334 / 9.5 Die Wellengleichimg 350 / 9.6* Kommentare zu Kapitel 9 369 / 9.7 Aufgaben 371 // 10 Maple oder manchmal hilft der Computer 375 / 10.1 Maple 376 / 10.2 Aufgaben 381 // Anhang 385 / A.1 Banach-Räume und lineare Operatoren 385 / A.2 Der Raum C (K) 387 / A.3 Integration 387 // Literaturverzeichnis 389 / Abbildungsverzeichnis 393 / Personenregister 395 / Symbolverzeichnis 397 / Index 399