Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156… - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort VII
Vorwort des Übersetzers IX
Danksagungen XI
Einleitung 1
1 Die logarithmische Wiege 7
1.1 Ein mathematischer Albtraum - und ein Erwachen 7
1.2 Des Barons wunderbarer Kanon 10
1.3 Ein Hauch Kepler 20
1.4 Ein Hauch Euler 22
1.5 Weitere Ideen Napiers 26
2 Die harmonische Reihe 31
2.1 Das Prinzip 31
2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn 32
2.3 Drei überraschende Ergebnisse 33
3 Subharmonische Reihen 37
3.1 Ein gemächlicher Start 37
3.2 Harmonische Primzahlreihen 38
3.3 Die Kempnerreihe 42
3.4 Die Madelungschen Konstanten 44
4 Zeta-Funktionen 49
4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n 49
4.2 Mit einer reellen Zahl x 55
4.3 Zwei abschließende Resultate 56
5 Der Geburtsort von Gamma 59
5.1 Ankunft 59
5.2 Niederkunft 62
6 Die Gamma-Funktion 65
6.1 Exotische Definitionen 65
6.2 ... weitere sinnvolle Definitionen 69
6.3 Gamma trifft Gamma 69
6.4 Komplement und Schönheit 71
7 Eulers wunderbare Identität 73
7.1 Die Formel, auf die es ankommt 73
7.2 ... und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit 74
8 Ein erfülltes Versprechen 79
9 Was ist Gamma . . . exakt? 83
9.1 Gamma existiert 83
9.2 Gamma ist ... was für eine Zahl? 87
9.3 Eine überraschend gute Verbesserung 89
9.4 Der Ursprung einer großen Idee 93
10 Gamma als Dezimalbruch 95
10.1 Die Bernoullischen Zahlen 95
10.2 Die Euler-Maclaurinsche Summenformel 100
10.3 Zwei Beispiele 101
10.4 Die Implikationen für Gamma 103
11 Gamma als rationaler Bruch 107
11.1 Ein Rätsel 107
11.2 Ein Problem 107
11.3 Eine Antwort 109
11.4 Drei Ergebnisse 111
11.5 Irrationale Zahlen 112
11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung 114
11.7 Lückenfüller 115
11.8 Die harmonische Alternative 116
12 Wo ist Gamma? 119
12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe 119
12.2 In der Analysis 123
12.3 In der Zahlentheorie 130
12.4 Bei Vermutungen 135
12.5 Bei Verallgemeinerungen 136
13 Die Welt ist harmonisch 139
13.1 Mittelwerte 139
13.2 Geometrische Harmonie 142
13.3 Musikalische Harmonie 143
13.4 Rekorde und Aufzeichnungen 146
13.5 Zerstörungsprüfungen 147
13.6 Durchqueren der Wüste 148
13.7 Kartenmischen 149
13.8 Quicksort 150
13.9 Sammeln einer vollständigen Menge 152
13.10 Eine Putnam-Preis-Frage 154
13.11 Maximal möglicher Überhang 155
13.12 Wurm auf einem Band 156
13.13 Optimale Auswahl 156
14 Die Welt ist logarithmisch 163
14.1 Ein Maß für die Unsicherheit 163
14.2 Das Benfordsche Gesetz 170
14.3 Kettenbruchverhalten 181
15 Probleme mit Primzahlen 189
15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen 189
15.2 Ein bescheidener Start 190
15.3 Eine Art Antwort 194
15.4 Veranschauliche das Problem! 196
15.5 Das Sieb des Eratosthenes 198
15.6 Heuristik 200
15.7 Ein Brief 202
15.8 Die harmonische Approximation 206
15.9 Verschieden - und doch gleich 209
15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei 210
15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle 211
15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen 215
16 Die Riemannsche Initiative 219
16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann 219
16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug 221
16.3 Analytische Fortsetzung 222
16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion 223
16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta 223
16.6 Die Nullstellen von Zeta 224
16.7 Die Berechnung von II(x) und ir(x) 226
16.8 Irreführende Spuren 228
16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz 231
16.10 Die Riemannsche Vermutung 234
16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig? 236
16.12 Reelle Alternativen 237
16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit - teilweise verschlossen 239
16.14 Ansporn - damals und heute 242
16.15 Fortschritte 245
A Das griechische Alphabet 251
B Die Größenordnung von Funktionen 253
C Taylorreihen 255
C.l Grad 1 255
C.2 Grad 2 255
C.3 Beispiele 257
C.4 Konvergenz 257
D Funktionentheorie 259
D.1 Komplexe Differentialrechnung 259
D.2 Die Weierstraßsche Funktion 264
D.3 Komplexe Logarithmen 266
D.4 Komplexe Integration 267
D.5 Eine nützliche Ungleichung 269
D.6 Das unbestimmte Integral 270
D.7 Ein folgenreiches Ergebnis 272
D.8 Eine erstaunliche Folgerung 273
D.9 Taylorreihen - und eine wichtige Folgerung 275
D.10 Laurentreihen - und eine weitere wichtige Folgerung 278
D.11 Residuenkalkül 280
D.12 Analytische Fortsetzung 282
E Anwendung auf die Zeta-Funktion 285
E.l Analytische Fortsetzung von Zeta 285
E.2 Funktionalgleichung für Zeta 288
Literaturverzeichnis 291
Namensverzeichnis 299
Sachverzeichnis 303