Ein buntes Spielzeugauto mit echten Motor- und Sirenengeräuschen verliert trotz anfänglicher Faszination häufig schnell seinen Reiz. Ein Baukastensystem dagegen ermöglicht Entwicklung. Die frei verfügbare Software GeoGebra ist wie ein solches Baukastensystem, denn sie verbindet Dynamische Geometrie, Tabellenkalkulation und Computeralgebra. Einerseits können hier beeindruckende bunte Applets erstellt werden, andererseits bietet sie aber auch viel Raum für Kreativität im Umgang mit mathematischen Objekten. Wie kann dieses Werkzeug zu einem vertieften Mathematikverständnis beitragen? Anhand origineller Beispiele werden verschiedene Standpunkte eingenommen und mögliche Perspektivwechsel aufgezeigt, die alle zu einer größeren Vielfalt der mathematischen Bewusstheit der Lernenden beitragen können.
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Vorwort V
1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis 1
1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke 2
1.2 Von Beispielen lernen 8
2 Portfolioselektion mit GeoGebra - in welche Aktien soll ich investieren? 13
2.1 Einführung 13
2.2 Trend-Volatilitäts-Ansatz 14
2.3 Kombination von Aktien 16
2.4 Kombination von mehreren Aktien 20
2.5 Kombination von Aktien und einem Sparbuch 27
2.6 Zusammenfassung 31
3 Erziehen im Mathematikunterricht 33
3.1 Probieren versus Konstruieren 33
3.2 Konstruktionen beschreiben 35
3.3 Erziehen zu sauberem Zeichnen 37
3.4 Resümee 40
4 Umfängliches und Diametrales 41
4.1 Variation und Erhaltungsgrößen 42
4.2 Konstruktion und algebraische Berechnung 49
4.3 Mathematisches Objekt und Problemlösemethode 57
5 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen 63
5.1 Nullstellen quadratischer Funktionen mit GeoGebra 63
5.2 Der Kreis von Captain Lill 68
5.3 Lills Methode 71
5.4 Über Nullstellen hinaus 75
5.5 Resümee 76
6 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen 79
6.1 Einleitung 79
6.2 Nullstellen von zufälligen quadratischen Polynomen 80
6.3 Polynome höheren Grades 84
6.4 Resümee und Ausblick 89
7 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen 91
7.1 Mit Bleistiften "würfeln" 92
7.2 Erst simulieren - Erwartungshaltung aufbauen 92
7.3 Dann experimentieren 94
7.4 Visualisieren in GeoGebra 95
7.5 Vertiefende Aufgaben 97
7.6 Resümee 98
7.7 Anhang 99
8 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken - nicht nur für Polynome 107
8.1 Tangenten und ihre Steigungen 107
8.2 Die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 bzw. x = a bei Polynomfunktionen . 111
8.3 Faktor-, Summen- und Produktregel für Polynome an der Stelle x = 0 115
8.4 Die allgemeine Ableitungsregel für Polynome 116
8.5 Die Quotientenregel für Polynomquotienten selbstständig entdecken 117
8.6 Verallgemeinerung auf alle Funktionen 118
8.7 Die Zahl e wird entdeckt 120
8.8 Die allgemeine Exponentialfunktion und ihre Tangentensteigungsfunktion ... 120
8.9 Die Ableitung der Umkehrfunktion 122
8.10 Resümee 123
9 Die Eulersche Zahl 125
9.1 Wege der Begriffsgenese mit GeoGebra durchschauen 125
9.2 Zur Geschichte der Eulerschen Zahl 125
9.3 Empirischer Zugang zur Eulerschen Zahl über die stetige Verzinsung 126
9.4 Zugang über den Flächeninhalt unter der Hyperbel 127
9.5 Graphische Umkehrung der natürlichen Logarithmusfunktion und Ableitung der Umkehrfunktion 130
9.6 Vertiefende Einsichten in den Standardweg mit GeoGebra 131
10 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos 133
10.1 Relevanz 133
10.2 Lineare Iteration - Rekursion - Verkettung - Rückkopplung 135
10.3 Quadratischelteration 141
10.4 Hat das Chaos Struktur? 147
10.5 Kann man Chaos messen? 149
10.6 ... und was gibt es noch? 153
10.7 Anhang: Experimente und Übungen 154
11 Funktionen kann man nicht sehen 169
11.1 Nomogramme 171
11.2 Gratwanderung 182
11.3 Ausblick 185
Sachverzeichnis 189
Autorenverzeichnis 193