Gründliche Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre maßtheoretischen Grundlagen; mit zahlreichen Übungsaufgaben.
Seit seinem Erscheinen hat sich das Buch umgehend als Standardwerk für eine umfassende und moderne Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre maßtheoretischen Grundlagen etabliert. Themenschwerpunkte sind: Maß- und Integrationstheorie, Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen (Gesetze der Großen Zahl, Zentraler Grenzwertsatz, Ergodensätze, Gesetz vom iterierten Logarithmus, Invarianzprinzipien, unbegrenzt teilbare Verteilungen), Martingale, Perkolation, Markovketten und elektrische Netzwerke, Konstruktion stochastischer Prozesse, Poisson'scher Punktprozess, Brown'sche Bewegung, stochastisches Integral und stochastische Differentialgleichungen. Bei der Bearbeitung der Neuauflage wurde viel Wert auf eine noch zugänglichere didaktische Aufbereitung des Textes gelegt, und es wurden viele neue Abbildungen sowie Textergänzungen hinzugefügt.
Prof. Dr. Achim Klenke, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, Institut für Mathematik
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Grundlagen der Maßtheorie 1
1.1 Mengensysteme 1
1.2 Mengenfunktionen 12
1.3 Fortsetzung von Maßen 18
1.4 Messbare Abbildungen 34
1.5 Zufallsvariablen 43
2 Unabhängigkeit 49
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 49
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 56
2.3 Kolmogorov'sches 0-1 Gesetz 63
2.4 Beispiel: Perkolation 67
3 Erzeugendenfunktion 79
3.1 Definition und Beispiele 79
3.2 Poisson-Approximation 82
3.3 Verzweigungsprozesse 84
4 Das Integral 87
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 87
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou 95
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 98
5 Momente und Gesetze der Großen Zahl 103
5.1 Momente 103
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl 110
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 113
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ 122
5.5 Der Poissonprozess 125
6 Konvergenzsätze 133
6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 133
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 138
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung 145
7 Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym 147
7.1 Definitionen 147
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 149
7.3 Hilberträume 155
7.4 Lebesgue'scher Zerlegungssatz 158
7.5 Ergänzung: Signierte Maße 162
7.6 Ergänzung: Dualräume 169
8 Bedingte Erwartungen 173
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 173
8.2 Bedingte Erwartungen 177
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 184
9 Martingale 193
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 193
9.2 Martingale 198
9.3 Diskretes stochastisches Integral 202
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 204
10 Optional Sampling Sätze 209
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation 209
10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 213
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling 217
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen 221
11.1 Die Doob'sche Ungleichung 221
11.2 Martingalkonvergenzsätze 223
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess 233
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit 235
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 235
12.2 Rückwärtsmartingale 240
12.3 Satz von de Finetti 243
13 Konvergenz von Maßen 249
13.1 Wiederholung Topologie 249
13.2 Schwache und vage Konvergenz 256
13.3 Der Satz von Prohorov 265
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti - anders angeschaut 275
14 W-Maßeauf Produkträumen 279
14.1 Produkträume 280
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 283
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien 292
14.4 Markov'sche Halbgruppen 297
15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz 301
15.1 Trennende Funktionenklassen 301
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 308
15.3 Der L6vy'sche Stetigkeitssatz 315
15.4 Charakteristische Funktion und Momente 320
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 326
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz 334
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen 337
16.1 Die Levy-Khinchin Formel 337
16.2 Stabile Verteilungen 349
17 Markovketten 357
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 357
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele 364
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 368
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 373
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 377
17.6 Invariante Verteilungen 384
17.7 Anwendung: Stochastische Ordnung und Kopplung 390
18 Konvergenz von Markovketten 397
18.1 Periodizität von Markovketten 397
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 401
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 406
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 413
19 Markovketten und elektrische Netzwerke 419
19.1 Harmonische Funktionen 419
19.2 Reversible Markovketten 423
19.3 Endliche Elektrische Netzwerke 424
19.4 Rekurrenz und Transienz 430
19.5 Netzwerkreduktion 436
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung 445
20 Ergodentheorie 449
20.1 Begriffsbildung 449
20.2 Ergodensätze 453
20.3 Beispiele 455
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 457
20.5 Mischung 460
20.6 Entropie 463
21 Die Brown'sche Bewegung 467
21.1 Stetige Modifikationen 467
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 474
21.3 Starke Markoveigenschaft 479
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 482
21.5 Konstruktion durch L2-Approximation 485
21.6 Der Raum C([0, oo)) 492
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0. oo)) 494
21.8 Satz von Donsker 497
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen* 501
21.10Quadratische Variation und lokale Martingale 507
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus 519
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown'sche Bewegung 519
22.2 Skorohod'scher Einbettungssatz 522
22.3 Satz von Hartman-Wintner 527
23 Große Abweichungen 529
23.1 Satz von Cramer 530
23.2 Prinzip der großen Abweichungen 534
23.3 Satz von Sanov 539
23.4 Varadhan'sches Lemma und Freie Energie 543
24 Der Poisson'sche Punktprozess 551
24.1 Zufällige Maße 551
24.2 Eigenschaften des Poisson'schen Punktprozesses 555
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung* 562
25 Das Itö-Integral 571
25.1 Das Ito-Integral bezüglich der Brown'schen Bewegung 571
25.2 Itö-Integral bezüglich Diffusionen 580
25.3 Die Itö-Formel 583
25.4 Dirichlet-Problem und Brown'sche Bewegung 591
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown'schen Bewegung 593
26 Stochastische Differentialgleichungen 597
26.1 Starke Lösungen 597
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 606
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 613
Literatur 621
Notation 631
Glossar englischer Ausdrücke 635
Namensregister 637
Sachregister 641