Anschauliche Zusammenstellung zentraler Gegenstände der Analysis des 1. Semesters in kompakten und übersichtlich strukturierten 2-seitigen Sektionen für Studienanfänger des Faches Mathematik.
Das Buch wendet sich an Studienanfänger der Mathematik im Fach- und Lehramtsstudium. Es möchte den Übergang von der Schule zur Universität erleichtern und wertvolle Hilfestellungen während der ersten Fachsemester bieten. Es eignet sich als Begleittext einer einführenden Analysis-Vorlesung und zur Prüfungsvorbereitung.
Behandelt werden: Grundlegendes, die reellen und komplexen Zahlen, Folgen und Grenzwerte, Reihen, Stetigkeit, Elementare Funktionen, Differentiation, Integration
Der Text bietet: exakte Definitionen und Sätze zu knapp 100 Stichpunkten, kompakte und übersichtlich strukturierte zweiseitige Darstellungen, über 200 Abbildungen zur Visualisierung von abstrakten Begriffen und Ergebnissen, über 300 Beispiele zur Illustration, Aneignung und Vertiefung, Hinweise zum Studium der Mathematik, Tabellen zu Junktoren, Quantoren, Epsilontik, Grenzwerten und Ableitungen. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
V o r w o r t 5
D i e T h e m e n d e s B u c h e s 9
K a p i t e l 1: Grundlegendes 13
1. Mengen 14
2. Umgang mit Mengen 16
3. Relationen 18
4. Funktionen 20
5. Visualisierung von Funktionen 22
6. Injektive, surjektive und bijektive Funktionen 24
7. Umgang mit Funktionen 26
8. Umkehrfunktionen und Einschränkungen 28
9. Bild und Urbild 30
10. Umgang mit Quantoren 32
11. Die vollständige Induktion 34
12. Das Prinzip vom kleinsten Element 36
K a p i t e l 2: Die reellen und komplexen Zahlen 37
1. Irrationale Zahlen 40
2. Algebraische und transzendente Zahlen 42
3. Abzählbarkeit und Uberabzählbarkeit 4 4
4. Die Körperaxiome 46
5. Die Anordnungsaxiome 48
6. Supremum und Infimum 50
7. Die Vollständigkeit 52
8. Die Dezimaldarstellung 54
9. Die Intervallschachtelung 56
10. Wurzeln und rationale Exponenten 58
11. Komplexe Zahlen 60
12. Umgang mit komplexen Zahlen . . 62
K a p i t e l 3: Folgen und Grenzwerte 65
1. Folgen 66
2. Grenzwerte von Folgen 68
3. Monotone Folgen und Pendelfolgen 70
4. Die Limesregeln 72
5. Cauchy-Folgen 74
6. Teilfolgen 76
7. Häufungspunkte von Folgen 78
8. D e r Satz von Bolzano-Weierstraß 80
9. Limes Superior und Inferior 82
10. Offene Epsilon-Umgebungen 84
11. Konvergenz in den komplexen Zahlen 86
12. Die Unendlichkeitssymbole 88
K a p i t e l 4: Reihen 91
1. Unendliche Reihen 92
2. Folgen versus Reihen 94
3. Die geometrische Reihe 96
4. Dezimaldarstellungen als Reihen 98
5. Die harmonische Reihe 100
6. Das Cauchy-Kriterium 102
7. Das Leibniz-Kriterium 104
8. Absolute und bedingte Konvergenz 106
9. Majorantenkriterium und Minorantenkriterium 108
10. Wurzelkriterium und Quotientenkriterium 110
11. Produkte von Reihen 112
12. Die Exponentialreihe 114
K a p i t e l 5: Stetigkeit 117
1. Die Limesstetigkeit 118
2. Grenzwerte von Funktionen 120
3. Unstetigkeiten 122
4. Die Umgebungsstetigkeit 124
5. Die gleichmäßige Stetigkeit 126
6. Die Lipschitz-Stetigkeit 128
7. Stetige Fortsetzungen 130
8. Der Zwischenwertsatz 132
9. Der Extremwertsatz von Weierstraß 134
10. Die Stetigkeit der Umkehrfunktion 136
11. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 138
12. Potenzreihen 140
K a p i t e l 6: Elementare Funktionen 143
1. Polynome 144
2. Rationale Funktionen 146
3. Die reelle Exponentialfunktion 148
4. D e r natürliche Logarithmus 150
5. Die allgemeine Exponentialfunktion 152
6. D e r allgemeine Logarithmus 154
7. Die komplexe Exponentialfunktion 156
8. Bilder der komplexen Exponentialfunktion 158
9. Sinus und Kosinus 160
10. Weitere trigonometrische Funktionen 162
11. Die Arkusfunktionen 164
12. Die Brücke zur Geometrie 166
K a p i t e l 7: Differentiation 169
1. Geraden und ihre Darstellungen 170
2. Differenzen-und Differentialquotienten 172
3. Lineare Approximationen 174
4. Ableitungsregeln 176
5. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 178
6. Höhere Ableitungen 180
7. D e r Mittelwertsatz der Differentialrechnung 182
8. Ableitung und Monotonie 184
9. Lokale Extremwerte 186
10. Konvexität 188
11. Krümmungsverhalten 190
12. Die Taylor-Entwicklung 192
K a p i t e l 8: Integration 195
1. Partitionen und Treppenfunktionen 196
2. Das Riemann-Integral 198
3. Das Darboux-Integral 200
4. Eigenschaften des Integrals 202
5. Zum Umfang der integrierbaren Funktionen 204
6. Das Regelintegral 206
7. D e r Mittelwertsatz der Integralrechnung 208
8. D e r Hauptsatz 210
9. Integrationsregeln 212
10. Uneigentliche Integrale 214
11. D e r Vertauschungssatz 216
12. Integral und Flächeninhalt 218
Zum Studium der Mathematik 221
A n h ä n g e 227
1. Junktoren 228
2. Quantoren 230
3. Axiome für die reellen Zahlen 231
4. Epsilontik 232
5. Grenzwerte von Folgen und unendliche Summen 234
6. Reihenentwicklungen 235
7. Ableitungen 236
8. Integrierbare Funktionen 237
L i t e r a t u r 239
N o t a t i o n e n 240
I n d e x 242