Inzwischen liegt, erneut aktualisiert und gründlich überarbeitet, die sechste Auflage dieses Lehrbuchs vor, das auch der geschichtlichen Entwicklung der Zahlentheorie besondere Aufmerksamkeit schenkt. Dabei werden nicht grundsätzlich die ersten publizierten Beweise zitiert, vielmehr erfährt der Leser den historischen Urheber eines Resultats und erhält Hinweise auf Verschärfungen und Verallgemeinerungen. Dies erlaubt ihm, die Denkweisen und -richtungen nachzuvollziehen, die zur modernen Zahlentheorie führten.
Aus den Besprechungen: "... Die Darstellung ist ausführlich, sehr gut lesbar und kommt ohne spezielle Kenntnisse aus. Das Buch kann daher jedem Studenten schon im nullten Semester empfohlen werden." Monatshefte für Mathematik, Österreich, Vol. 108-1989.2-3
/ AUS DEM INHALT: / / /
Kapitel 1. Teilbarkeit 1
§ 1. Fundamentalsatz der Arithmetik 2
1. Natürliche und gauze Zahlen 2. Teiler 3. Primzahlen 4. Satz von EUKLID 5. Der Fundamentalsatz der Arithmetik 6. Kanonische Primfaktorzerlegung 7. Teileranzahl-und Teilersummenfunktion 8. Vollkommene
Zahlen 9. Irrationalitat 10. Anmerkung zum Eindeutigkeitsbeweis
§ 2. Grofiter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 15
I. Grofiter gemeinsamer Teiler (ggT) 2. Divisionsalgorithmus 3. Zwei Charakterisierungen des ggT 4. Idealtheoretische Deutung des ggT 5. Rechenregeln 6. Teilerfremdheit 7. Charakterisierung der Primzahlen
8. Nochmals: Eindeutigkeit im Fundamentalsatz 9. Euklidischer Algorithmus und ggT 10. Regelmafiiger Kettenbruch rationaler Zahlen
II. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 12. Zusammenhang zwischen ggT und kgV
§ 3. Lineare diophantische Gleichungen 27
1. Warum "diophantisch"? 2. Lösbarkeitsbedingung 3. Der Fall zweier Unbestimmten 4. Spezielle Losung, numerisches Beispiel 5. Reduktion des allgemeinen Falls 6. Struktur der Losungsgesamtheit
§ 4. Zahlentheoretische Funktionen 35
1. Einige Definitionen 2. Multiplikative und additive Funktionen 3. Produktdarstellung unendlicher Reihen 4. RlEMANNsche Zetafunktion 5. Zweimal EUKLIDS Satz 6. Faltung 7. Inverse beziiglich Faltung 8. Die Gruppe der multiplikativen Funktionen 9. MöBlUSsche Miifunktion 10. Weitere spezielle multiplikative Funktionen 11. EuLERs Phifunktion und Verallgemeinerungen 12. Eine Aussage "im Mittel" 13. Walirscheinlichkeit fiir Teilerfremdheit 14. Historische Anmerkungen
§ 5. Teilbarkeit in Integritatsringen 53
1. Teiler, Einheiten, Assoziiertheit 2. Die Begriffe ggT und kgV 3. Unzerlegbare Elemente, Primelemente 4. Faktorielle Ringe 5. Hauptidealringe 6. Euklidische Ringe 7. Polynome 8. Polynomringe iiber Korpern 9. Polynomringe iiber faktoriellen Ringen
§ 6. Algebraische Zahlkorper, insbesondere quadratische 65
I. Algebraische Zahlen, Minimalpolynom 2. Konjugierte 3. Algebraische Zahlkorper 4. Normen 5. Ganzheit 6. Quadratische Zahlkorper 7. Deren Ganzheitsring 8. Einheiten quadratischer Zahlringe 9. Euklidische quadratische Zahlringe 10. Primzahlen als Summe zweier Quadrate II. DEDEKINDS Beispiel
Kapitel 2. Korigruenzen 78
§ 1. Lineare Kongruenzen 79
1. Definition der Kongruenz, elementare Eigenschaften 2. FERMATZahlen 3. Kiirzungsregel 4. Vollstandige Restsysteme 5. Lineare Kongruenzen 6. Bruchschreibweise 7. Restklassenring 8. Prime Restklassengruppe 9. Historische Bemerkungen
§ 2. Simultane lineare Kongruenzen 88
1. Reduktion des Problems 2. Paarweise teilerfremde Moduhi 3. Anwendungen, numerische Beispiele 4. Restklassenring als direkte Summe 5. Prime Restklassengruppe als direktes Produkt 6. Historische Bemerkungen
§ 3. Die Satze von Fermat, Euler und Wilson 94
1. DIRICHLETS Schubfachprinzip 2. Kongruenzverhalten von Potenzen 3. Der "kleine" FERMATsche Satz 4. Der EuLERsche Satz 5. Numerische Anwendungen 6. Zusammengesetzt oder Primzahl? 7. FERMAT-EULER und geheime Nachrichtenubermittlung 8. Satz von WILSON 9. Anwendung auf eine quadratische Kongruenz
§ 4. Polynomiale Kongruenzen 104
1. Problemstellung 2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln 3. Überlegungen zur weiteren Reduktion 4. Reduktion auf Primzahlmoduln 5. Polynomkongruenzen bei Primzahlmoduln 6. Ein Beispiel
§ 5. Primitivwurzeln 109
1. Definition 2. Primitivwurzeln modulo Primzahlen 3. Tabellen fur Primitivwurzeln 4. Zu welchen Moduln sind Primitivwurzeln moglich? 5. Bestimmung aller Moduln mit Primitivwurzeln 6. Zweierpotenzen als Moduln 7. Basisdarstellung
Kapitel 3. Potenzreste, insbesondere quadratische Reste 121
§ 1. Indexrechnung und Potenzreste 121
1. Indizes 2. Ein Beispiel 3. n-te Potenzreste, quadratische Reste und Nichtreste 4. Kriterium fur n-te Potenzreste 5. Folgerungen aus dem Kriterium 6. n-te Potenzreste, Modulzerlegung in Primzahlpotenzen
§ 2. Quadratische Reste 127
1. Quadratische Kongruenzen und quadratische Reste 2. Kriterium fur quadratische Reste 3. Das LEGENDRE-Symbol 4. EULERs Kriterium 5. GAUSSsches Lemma 6. Quadratisches Reziprozitatsgesetz, Erganzungssatze
7. Beweis des Reziprozitatsgesetzes 8. Ein numerisches Beispiel 9. Quadratische Nichtreste modulo Primzahlen 10. Primzahlen in arithmetischen Progressionen 11. Primfaktoren von FERMAT-Zahlen 12. MERSENNE-Primzahlen 13. Historisches zum Reziprozitatsgesetz
§ 3. Verteilung quadratischer Reste 147
1. Summen iiber gewisse LEGENDRE-Symbole 2. Paare sukzessiver quadratischer Reste 3. Tripel sukzessiver quadratischer Reste 4. Eigenschaften JACOBSTHALscher Summen
Kapitel 4. Additive Probleme und diophantische Gleichungen .. 153
§ 1. Potenzsummen, insbesondere Quadratsummen 154
1. Primzahlen als Summe zweier Quadrate 2. THUES Lemma 3. Natiirliche Zahlen als Summe zweier Quadrate 4. Naturliche Zahlen als Summe von vier Quadraten: LAGRANGEs Satz 5. Nochmals Primzahlen als Summe zweier Quadrate 6. Summen dreier Quadrate 7. WARINGS Problem und HILBERTS Satz 8. Anmerkungen iiber Darstellungsanzahlen
§ 2. Polynomiale diophantische Gleichungen 167
1. Pythagoraische Tripel 2. EUKLIDS Satz iiber pythagoraische Tripel 3. Rationale Punkte auf Kurven zweiten Grades 4. Rationale Punkte gewisser Kurven dritten Grades 5. Resultate von POINCARE, MORDELL und FALTINGS 6. Pythagoraische Dreiecke quadratischer Kathetenlangen 7. FERMATs Vermutung 8. Weitere Entwicklung des FERMAT-Problems (bis 1993) 9. LQsung des FERMAT-Problems
§ 3. Die Pellsche Gleichung und Verwandtes 185
1. Problemstellung 2. Der DlRiCHLETsche Approximationssatz 3. Unendlich viele Losungen der PELL-Gleichung 4. Lösungsstruktur der PELL-Gleichung 5. Pythagoraische Dreiecke mit Kathetendifferenz Eins 6. Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper 7. Ganze Punkte auf Kurven
zweiten Grades 8. Anmerkungen dazu
Kapitel 5. Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen 200
§ 1. Die ff-adische Entwicklung 201
1. Entwicklung natürlicher Zahlen 2. Teilbarkeitsregeln 3. Der gebrochene Teil reeller Zahlen 4. Entwicklung reeller Zahlen 5. Entwicklung rationaler Zahlen 6. Periodizitatseigenschaften der Ziffernfolge 7. Dezimalbruchentwicklungen 8. Rationale Zahlen mit gleichen Nennern 9. Eine
Anwendung des Irrationalitatskriteriums 10. Existenz transzendenter Zahlen 11. Dezimalbruchentwicklung und Dichtung 12. Historische Anmerkungen
§ 2. Die Cantorsche Entwicklung. Weitere
Irrationalitätskriterien 216
1. Beschreibung der Entwicklung 2. CANTORsche Reihen und Irrationalität 3. Verwandte Irrationalitatskriterien 4. Anwendungen
§ 3. Die regelmäßige Kettenbruchentwicklung 222
1. Der Kettenbruchalgorithmus 2. Konvergenz unendlicher Kettenbrüche 3. Eindeutigkeit. Irrationalitat 4. Periodische Kettenbriiche 5. Der Satz von LAGRANGE 6. Zur Minimallösung der PELLschen Gleichung 7. Annaherung reeller Zahlen durch rationale 8. Beste Näherungen 9. Anmerkungen dazu 10. Approximation algebraischer Zahlen zweiten Grades durch rationale 11. Eine arithmetische Eigenschaft von e2/* 12. Kettenbruchentwicklung von e
Kapitel 6. Transzendenz 242
§ 1. Entdeckung der Transzendenz 242
1. Historisches 2. Der LlOUViLLEsche Approximationssatz 3. Konstruktion transzendenter Kettenbrüche 4. Transzendente g-adische Reihen
§ 2. Scharfere Approximationssatze 248
1. Der THUE-SlEGEL-RoTHsche Satz 2. Anwendungen auf Transzendenz 3. THUE-Gleichung und ROTHS Verallgemeinerung 4. Reduktion auf den THUE-SlEGEL-ROTHschen Satz 5. Effektivitatsfragen 6. SCHMIDTS Satze über simultane Approximation
§ 3. Die Satze von Hermite, Lindemann und WeierstraB 257
1. Historisches 2. Hauptergebnisse von HERMITE und LINDEMANN 3. Der Satz von LINDEMANN-WEIERSTRASS 4. Zur Aquivalenz der vier Versionen
§ 4. Die Methode von Hermite-Mahler 263
1. Vorbemerkungen 2. Ungleichungen fur algebraische Zahlen 3. Konstruktion geeigneter Exponentialpolynome 4. Eigenschaften dieser Exponentialpolynome 5. Eine Determinantenbetrachtung 6. Gewinnung einer nichtverschwindenden algebraischen Zahl 7. Untere Abschatzung 8. Obere Abschatzung 9. Parameterwahl 10. Historische Anmerkung
§ 5. Der Satz von Gel'fond-Schneider 271
1. HlLBERTs siebtes Problem 2. Ein SchubfachschluB 3. SlEGELsches Lemma 4. Hilfsfunktion fur GEL'FOND-SCHNEIDER 5. Gewinnung einer zur Abschätzung geeigneten Zahl 6. Untere Abschatzung 7. Obere Abschätzung 8. Parameterwahl 9. Ausblicke
Kapitel 7. Primzahlen 282
§ 1. Elementare Ergebnisse 282
1. Darstellung von Primzahlen durch Polynome 2. Exponentielle Folgen von Primzahlen 3. Grofie Liicken 4. Sieb des ERATOSTHENES, Primzahltafeln 5. Anzahlfunktion 6. Primzahlzwillinge 7. Die GOLDBACHProbleme
§ 2. Anzahlfunktion: Tchebychefs Satze 293
1. Vermutungen von LEGENDRE und GAUSS 2. LEGENDRES Identitat 3. Obere Abschätzung 4. Partielle Summation 5. Zwei asymptotische Ergebnisse von MERTENS 6. Letzte Vorstufe des Primzahlsatzes
§ 3. Der Primzahlsatz 301
1. RlEMANNs AnstoB 2. Konvergenz einer Folge und Primzahlsatz 3. Die Reste der Zetareihe 4. Fortsetzung und Nullstellenfreiheit der RiEMANNschen Zetafunktion 5. Uber gewisse DiRiCHLET-Reihen 6. Die
Existenz des Grenzwerts 7. Anwendung des CAUCHY-Kriteriums 8. Konvergenzsatz 9. Mittelwert der MOBIUS-Funktion 10. Funktionalgleichung der Zetafunktion 11. Pole und Nullstellen der Zetafunktion
12. RlEMANNsche Vermutung 13. Schlußbemerkungen
Literaturverzeichnis 324
Namen- und Sachverzeichnis 328