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Es ist ein Vorteil des Buches und ein wesentlicher Unterschied zu anderen Abhandlungen zur Geschichte der Analysis, dass die Entwicklung der Analysis im Sinne eines Stammbaumes so weit wie möglich in ihrer ganzen Breite nachgezeichnet wird und dabei, obwohl viele Zweige nicht weiter verfolgt werden können, die tragenden Äste deutlich hervortreten. Der Autorengruppe gelang es sehr gut, die Vielschichtigkeit dieser Entwicklung zu erfassen und für einen breiten Leserkreis aufzubereiten. Auch das biographische Element kommt in dem Buch nicht zu kurz. (...) Die Kapitel sind gut aufeinander abgestimmt. Die Darstellung ist insgesamt ausgewogen und vermittelt zahlreiche Anregungen für weitere Studien zur Geschichte der Analysis. Sehr hilfreich ist dabei das etwa 650 Titel umfassende Literaturverzeichnis, das sowohl Angaben zu Originalquellen wie zur Sekundärliteratur enthält. (Zeitschrift für Analysis und Anwendungen)

Dieses Buch ist eines der schönsten zu diesem Thema, das ich kenne, einerseits mit höchster wissenschaftlicher Genauigkeit geschrieben, andererseits von bemerkenswerter "Flüssig-" und "Lesbarkeit", was Sprache und Stil betrifft. (...) Dieses Buch, das sich auch hervorragend als Nachschlagewerk oder zum Zitieren eignet, sollte jeder in Lehre und/oder Forschung tätige Mathematiker kennen. (Monatshefte für Mathematik)

 

 

Aus dem Inhalt:

Einleitung // 1 Antike / 1.1 Der Anteil der griechischen Mathematik an der Herausbildung der Analysis / Der Gegenstand / Über Analysis und Synthesis / Zur Interpretation / 1.2 Der griechische Zahl- und Größenbegriff / Die Zahl als mathematisches Objekt / Die Arten der Zahlen / Zahlverhältnisse ("Brüche") / Der Begriff der Größe / Verhältnisse von Größen ("reelle Zahlen") / Andere Auffassungen / 1.3 Quadraturprobleme: Beispiel Kreis / Vorgeschichte / Die Möndchen des Hippokrates / Stetigkeitsüberlegungen / Exhaustionsmethode / Rreismessung des Archimedes / 1.4 Archimedes' Beiträge zur Infinitesimalmathematik / Das Leben / Das Werk / Die mechanische Methode / Die mathematische Rechtfertigung / Hatte Archimedes einen Integralbegriff? / Zur Wirkungsgeschichte / 1.5 Der antike Kurvenbegriff / 1.5.1 Einteilung 36 / 1.5.2 Beispiel: Quadratrix 36 / 1.5.3 Tangenten 39 / 1.6 Philosophische Reflexionen über das unendlich Kleine 3^ // 2 Vorläufer der Differential- und Integralrechnung 43 / 2.1 Motivationen 43 / 2.2 Die Analyse von Kurven in der Geome?na-Ausgabe von 1659 44 / 2.2.1 Descartes verbindet Geometrie und Algebra (1637) 44 / 2.2.2 Desartes über die Normale der Ellipse 47 / 2.2.3 Van Schooten über die Normalen-Methode 51 / 2.2.4 Die Ellipse: Übersetzung ins Lateinische 52 / 2.2.5 Die Ellipse: Bedeutung des Textes 53 / 2.2.6 Die Ellipse: weitere Untersuchungen 53 / 2.2.7 Huddes Regel 55 / 2.2.8 Exkurs: Fermat 59 / 2.2.9 Extremwerte 62 / 2.2.10 Exkurs: die Zykloide und eine kinematische Methode zur Konstruktion von Tangenten 64 / 2.2.11 Vorläufer der Differentiation: Schlußbemerkungen und weitere Lektüre 66 / 2.3 Vorformen der Integration in den Briefwechseln von Huygens und Sluse (1658) 66 / 2.3.1 Die Kissoide von Diokles bis 1650 67 / 2.3.2 Exkurs: Torricellis Trompete 69 / 2.3.3 Sluse und Huygens. Sluse dreht die Kissoide 72 / 2.3.4 Exkurs: Keplers Apfel 74 / 2.3.5 Huygens quadriert die Kissoide 76 / 2.3.6 Exkurs: Wallis' arithmetica infinitorum 80 / 2.3.7 Sluses Überraschung 84 / 2.3.8 Schlußfolgerungen 85 / 2.4 Barrow ahnt den 'Hauptsatz' 86 // 3 Newtons Methode und Leibniz' Kalkül 89 / 3.1 Einleitung 89 / 3.2 Newtons Reihen- und Fluxionenmethode 90 / 3.2.1 Ein isoliert arbeitender Mathematiker 90 / 3.2.2 Die binomische Reihe (1664 bis 1665) 92 / 3.2.3 Der Hauptsatz (1665 bis 1669) 94 / 3.2.4 Die Methode der Fluenten, Fluxionen und Momente (1670 bis 1671) 96 / 3.2.5 Die Geometrie der ersten und letzten Verhältnisse (1671 bis 1704) 102 / 3.2.6 Fluxionen höherer Ordnung und die Taylor-Reihe (1687 bis 1692) 105 / 3.3 Leibniz' Differential-und Integralrechnung 106 / 3.3.1 Ein Mathematiker und Diplomat 106 / 3.3.2 Unendliche Reihen (1672 bis 1673) 107 / 3.3.3 Die Geometrie der unendlich kleinen Größen (1673 bis 1674) 109 / 3.3.4 Der Kalkül der Infinitesimalen (1675 bis 1686) 112 / 3.4 Die Mathematisierung des Kraftbegriffs 117 / 3.5 Newton versus Leibniz 122 / 3.5.1 "Nicht äquivalent in der Praxis" 122 / 3.5.2 Das Problem der Grundlagen 124 / 3.5.3 Die zwei Algorithmen: Methode versus Kalkül 127 / 3.5.4 Die Rolle der Geometrie 129 // 4 Die algebraische Analysis des 18. Jahrhunderts 131 / 4.1 Grundbegriffe, Probleme, Personen 131 / 4.2 Das Beispiel der Kettenlinie 136 / 4.3 Taylors Satz 139 / 4.4 Der analytische Funktionsbegriff 142 / 4.4.1 Eulers Introductio (1748) 142 / 4.4.2 Die elementaren transzendenten Funktionen 144 / 4.4.3 Die Kontroverse um die Logarithmen negativer Zahlen 147 / 4.5 Das Rechnen mit Reihen 149 / 4.5.1 Die Reihe der reziproken Quadratzahlen 150 / 4.5.2 Das Problem der Reihenumkehr 152 / 4.5.3 Konvergenz und Divergenz 153 / 4.6 Die Grenzen des analytischen Funktionsbegriffs 157 / 4.7 Lagranges algebraische Begründung der Analysis 163 / 4.8 Die Allgemeinheit der Algebra 168 // 5 Die Entstehung der analytischen Mechanik im 18. Jahrhundert 171 / 5.1 Das Prinzip der kleinsten Wirkung: Maupertuis, Euler und Lagrange (1740 - 1761) 172 / 5.2 Lagranges Mecanique analytique 183 / 5.2.1 Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten 183 / 5.2.2 Die Mechanik in Lagranges Theorie des fonctions analytiques 186 // 6 Grundlagen der Analysis im 19. Jahrhundert 191 / 6.1 Einleitung 191 / 6.2 Der Funktionsbegriff 193 / 6.3 Cauchy und der Cours d'Analyse 198 / 6.3.1 Variablen und Grenzwerte 201 / 6.3.2 Unendlich kleine Zahlgrößen 203 / 6.3.3 Stetigkeit 205 / 6.3.4 Summe einer Reihe 208 / 6.3.5 Ableitung 211 / 6.3.6 Integral 212 / 6.3.7 Funktionalgleichungen und der binomische Lehrsatz 216 / 6.4 Gauß, Bolzano und Abel 218 / 6.4.1 Gauß 218 / 6.4.2 Bolzano 219 / 6.4.3 Abel 222 / 6.5 Konvergenz von Fourier-Reihen 225 / 6.6 Cauchys Theorem und die gleichmäßige Konvergenz 230 / 6.7 Weierstraß 234 / 6.8 Pathologische Funktionen und der neue Stil in der Analysis 238 / 6.9 Verbreitung und Akzeptanz der Strenge in der Analysis 240 / 6.10 Die Befreiung von den Fesseln der Strenge 242 // 7 Randwertprobleme der mathematischen Physik 245 / 7.1 Analysis und Physik um 1800 245 / 7.1.1 Fernwirkungskräfte und Potentiale 246 / 7.1.2 Fourier: Wärmeleitung und Trennung der Variablen 248 / 7.1.3 Von Laplace und Fourier beeinflußt: Poisson und Ohm 251 / 7.2 Green, Gauß und Dirichlet: Fortschritte bei den Randwertproblemen 252 / 7.2.1 Greens Abhandlung 253 / 7.2.1.1 Biographische Notiz: George Green 253 / 7.2.1.2 Die Entdeckung der Greenschen Funktionen 254 / 7.2.2 Die Allgemeinen Lehrsätze von Gauß und der Divergenzsatz 258 / 7.2.2.1 Biographische Notiz: Carl Friedrich Gauß 258 / 7.2.2.2 Die Allgemeinen Lehrsätze 259 / 7.2.3 Der Satz von Stokes 261 / 7.2.4 Diiichlets Vorlesungen: Existenztheorie und die Klassifikation der Probleme 262 / 7.3 Einige spätere Entwicklungen 264 / 7.3.1 Riemann und die Methode der Greenschen Funktionen 264 / 7.3.2 O. Holder, C. Neumann und H. A. Schwarz 265 / 7.4 Schlußbemerkung 266 // 8 Die Theorie der komplexen Funktionen, 1780 - 1900 267 / 8.1 Einführung 267 / 8.2 "Der Übergang vom Realen zum Imaginären" 269 / 8.3 Komplexe Funktionen und Integralsatz 276 / 8.4 Integralformel und calcul des limites 284 / 8.5 Die Entstehung der Französischen Schule 288 / 8.6 Riemanns Theorie der komplexen Funktionen 295 / 8.7 Riemanns weitere Forschungen 303 / 8.8 Der Einfluß von Riemanns Ideen 312 / 8.9 Weierstraß'frühe Aufsätze 315 / 8.10 Weierstraß' Funktionenlehre 319 // 9 Maß- und Integrationstheorie von Riemann bis Lebesgue 329 / 9.1 Zur Vorgeschichte des Riemann-Integrals 330 / 9.2 Riemanns Integral 332 / 9.3 Auseinandersetzungen 337 / 9.3.1 Hermann Hankel und Gaston Darboux 337 / 9.3.2 Das Problem der gleichmäßigen Konvergenz 345 / 9.3.3 Mehrdimensionale Integration 348 / 9.4 Integration im Umbruch: C. Jordan 350 / 9.5 Die Entwicklung der Maßtheorie 353 / 9.5.1 Verwirrungen 353 / 9.5.2 Die Entdeckung nirgends dichter Mengen mit "Inhalt" und erste Ansätze zu einer Theorie der (äußeren) Maße 354 / 9.5.3 Boreis Maße 359 / 9.6 Quergedacht: Lebesgues Integral 362 // 10 Das Ende der Größenlehre: Grundlagen der Analysis 1860-1910 / 10.1 Konstruktionen der reellen Zahlen / Hankels Zahlen / Weierstraß' Zahlen / Dedekinds Zahlen / Heines und Cantors Zahlen / Thomaes Zahlen / Freges Zahlen / Zusammenfassung / 10.2 Die Entstehung der Mengenlehre / Von trigonometrischen Reihen zu Punktmengen / Von Punktmengen zu transfiniten Zahlen / Philosophie des Unendlichen / Der Begriff des Kontinuums / Die Wissenschaft von e / 10.3 Die axiomatische Methode / Huberts Zahlen / Die Axiomatisierung der Mengenlehre / Konsens oder Dissens? // 11 Differentialgleichungen: Ein historischer Überblick bis etwa 1900 411 / 11.1 Einführung 411 / 11.2 Von den Ursprüngen des Kalküls bis zum späten 18. Jahrhundert 412 / 11.2.1 Newton 412 / 11.2.2 Leibniz und die Brüder Bernoulli: Inverse Tangentenaufgaben und frühe Lösungsmethoden 413 / 11.2.3 Weitere Lösungsverfahren 420 / 11.2.4 Lineare Gleichungen im 18. Jahrhundert: Integrierende Faktoren, Exaktheitskriterien und singuläre Lösungen 421 / 11.2.5 Mechanik, Physik und partielle Differentialgleichungen 426 / 11.3 Von der Französischen Revolution bis etwa 1900 431 / 11.3.1 Differentialgleichungen im 19. Jahrhundert 431 / 11.3.2 Cauchy: Existenzsätze und der calcul des limites 432 / 11.3.3 Die Sturm-Liouville-Theorie und die Integration in endlichen Ausdrücken 436 / 11.3.4 Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung: Pfaff und Jacobi 439 / 11.3.5 Die Anwendung der Weierstraßschen Methoden auf Differentialgleichungen / Die Lipschitz-Bedingung / Sonja Kovalewskaja / Picards Existenztheorie / Neue Orientierung: Lie und Poincare // 12 Die Genese der Variationsrechnung / 12.1 Einleitung / 12.2 Die Vorgeschichte / 12.3 Die Bernoullis, Taylor und Euler / 12.4 Lagrange / 12.5Legendre / 12.6 Jacobi / Jacobi und seine "Schule" / Jacobis Abhandlung von 1837 / 12.7 Mayer / 12.8 Erdmann / 12.9 Weierstraß / Die Vorlesungen von Weierstraß / Die Weierstraßsche Exzeßfunktion / Der Feldbegriff / 12.10 Die Verfeinerung der Weierstraßschen Methoden / Huberts invariantes Integral / Die moderne Sicht / 12.11 Variationsmethoden in der Mechanik / 12.12 Existenzfragen // 13 Die Entstehung der Funktionalanalysis 487 / 13.1 Einführung 487 / 13.2 Die Wurzeln in der Theorie linearer Gleichungssysteme und Integralgleichungen 489 / 13.3 Die Wurzeln in der Variationsrechnung und der italienische calcolo funzionale 490 / 13.4 Der mengentheoretische Impuls und Frechets analyse generale 491 / 13.5 Pioniertaten ohne Wirkung: G. Peanos und S. Pincherles Axiomatik unendlichdimensionaler Vektorräume 493 / 13.6 David Huberts Integralgleichungstheorie und ihre Vereinfachung durch E. Schmidt 493 / 13.7 Der verfehlte Versuch einer Synthese durch einen Außenseiter: die General Analysis von E. H. Moore 497 / 13.8 F. Riesz' Synthese der Frechetschen analyse generale / und der Hilbert-Schmidtschen Integralgleichungstheorie 499 / 13.9 Der Beginn der Operatorentheorie bei Riesz 501 / 13.10 Die Pohlische Schule um Stefan Banach 502 / 13.11 Schluß 502 // Literatur 505 / Personenverzeichnis 543 / Sachverzeichnis 551 / Zu den Autoren 563