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Dieses Lehr- und Übungsbuch bietet Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften praxisgerechte Grundlagen und Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung.

Über 200 eingestreute Aufgaben - vorwiegend aus Geometrie, Algebra, Mechanik, Strömungslehre, Elektrodynamik, Optik und Relativitätstheorie - mit ausführlichen Anleitungen zur Lösung und Vergleichen alternativer Verfahren dienen zur Einübung des Stoffes.

Interessenten finden auch manchen Hinweis zum geschichtlichen Hintergrund.

Die neue Auflage wurde unter didaktischen Gesichtspunkten überarbeitet, teils gestrafft, teils ergänzt - unverändert mit dem Ziel, die Eigenschaften von Lehrbuch, Nachschlagewerk, Formel- und Aufgabensammlung in Einklang zu bringen.

 

 

 

Aus dem Inhalt:

Vorworte i / Einleitung xi / 1 Grundlagen der Vektoralgebra 1 / 1.1 Elementare Begriffe 1 / 1.1.1 Maßzahlkollektive 1 / Skalare, Vektoren, Tensoren 1 / 1.1.2 Betrag und Einsvektor 2 / 1.1.3 Vergleiche 3 / Parallele Vektoren 3 / Komplanare Vektoren 3 / 1.2 Elementare Operationen 4 / 1.2.1 Grafische Addition und Subtraktion 4 / 1.2.2 Teilvektor und Richtungskosinus 6 / 1.2.3 Matrixdarstellung 8 / 1.2.4 Numerische Addition und Subtraktion 8 / 1.2.5 Ortsvektor 10 / 1.2.6 Multiplikation mit Skalaren 11 / 1.2.7 Anwendungen in der Planimetrie 12 // 2 Produkte aus Vektoren 13 / 2.1 Punktprodukt 13 / 2.1.1 Definition 13 / 2.1.2 Merkmale 15 / 2.1.3 Anwendungen in der ebenen Trigonometrie 15 / 2.2 Kreuzprodukt 17 / 2.2.1 Definition 17 / 2.2.2 Merkmale 19 / 2.2.3 Anwendung in der Goniometrie 20 / 2.3 Elementare Vektorgleichungen 20 / 2.3.1 Auflösung nach Vektoren 20 / 2.3.2 Auflösung nach Skalaren 21 / 2.4 Spatprodukt 23 / 2.4.1 Definition 23 / 2.4.2 Merkmale 23 / 2.4.3 Reziproke Dreibeine 25 / 2.4.4 Anwendung in der Algebra 26 / 2.5 Mehrfache Kreuzprodukte 27 / 2.5.1 Kreuz-Kreuz-Produkt 27 / 2.5.2 Kreuz-Punkt-Kreuz-Produkt 29 / Anwendungen in der sphärischen Trigonometrie 30 / 2.5.3 Kreuz-Kreuz-Kreuz-Produkt 32 // 3 Analytische Geometrie 33 / 3.1 Gerade 33 / 3.1.1 Algebraische Darstellung 33 / 3.1.2 Abstand zwischen Gerade und Punkt 34 / 3.1.3 Abstand zwischen 2 Geraden 35 / 3.1.4 Schnittpunkt zweier Geraden 36 / Anwendung in der Navigation 37 / 3.2 Ebene 37 / 3.2.1 Algebraische Darstellung 37 / 3.2.2 Schnittpunkt von Ebene und Gerade 39 / 3.2.3 Schnittgerade zweier Ebenen 40 / 3.2.4 Schnittpunkt dreier Ebenen 41 / 3.3 Kegelschnitte 42 / 3.4 Lineare Transformationen kartesischer Koordinaten 43 / 3.4.1 Translation 44 / 3.4.2 Drehung 44 / 3.4.3 Anwendung auf Kegelschnitte 46 // 4 Feldtheorie 49 / 4.1 Grundlagen der Vektoranalysis 49 / 4.2 Örtliche DifFerenzialoperationen 1. Ordnung 51 / 4.2.1 Gradient 51 / Anwendungen in der Geometrie 52 / Relative Extrema räumlicher Flächen 53 / 4.2.2 Divergenz 54 / Anwendung in der Gasdynamik 55 / 4.2.3 Rotor 55 / 4.2.4 Besondere Vektorfelder 57 / Wirbel- und wirbelfreie Felder 57 / Echte und unechte Wirbelfelder 57 / Quellenfreie Felder 58 / Quellen- und wirbelfreie Felder 58 / 4.2.5 Nabla-Operator 58 / 4.2.6 Nabla-Kalkül 60 / 4.3 Anwendungen in Mathematik und Physik 63 / 4.3.1 Orthogonaltrajektorien 63 / 4.3.2 Einhüllende 64 / 4.3.3 Extrapolation 65 / 4.3.4 Energiesatz der klassischen Dynamik 67 / 4.3.5 Poyntingscher Satz der Elektrodynamik 68 / 4.3.6 Eulersche Grundgleichung der Hydrodynamik 69 / Torricellisches Theorem 69 / Bernoullische Gleichung 70 / Helmholtzscher Wirbelsatz (Differenzialform) 70 / 4.4 örtliche Differenzialoperationen 2. Ordnung 71 / 4.4.1 Laplace- Operator 71 / 4.4.2 Anwendungen in Akustik und Optik 72 / Schallwellen 72 / Elektromagnetische Wellen 72 // 5 Differenzialgeometrie 75 / 5.1 Räumliche Kurven und Bahnen 75 / 5.1.1 Tangentenvektor 76 / 5.1.2 Hauptnormalenvektor und Krümmung 77 / 5.1.3 Binormalenvektor und Windung 79 / 5.1.4 Frenetsche Formeln 80 / 5.2 Krumme Flächen 81 / 5.2.1 Darstellungsformen 81 / 5.2.2 1. Grundform der Flächentheorie 81 / 5.2.3 Anwendung der Metrik 83 / Längen, Winkel, Oberflächen 83 / 5.2.4 2. Grundform der Flächentheorie 84 / 5.2.5 Satz von Meusnier 85 / 5.2.6 Krümmungsmaße 86 / 5.2.7 Satz von Euler 88 / 5.2.8 Geometrieklassen 89 / 5.2.9 Formel von Rodrigues 90 / 5.2.10 Theorema egregium 91 / 5.2.11 Regelflächen und Torsen 93 // 6 Krummlinige rechtwinklige Koordinaten u , v , w 95 / 6.1 Transformation von x, y, z zu u, v, w 95 / 6.1.1 Geometrische Grundlagen 95 / 6.1.2 Gradient 98 / 6.1.3 Divergenz 98 / 6.1.4 Rotor 98 / 6.1.5 Laplace-Operator 100 / 6.2 Spezielle Koordinaten 100 / 6.2.1 Zylinderkoordinaten (u = p, v = tp, w = z) 100 / Anwendung in der Kreiseltheorie 102 / 6.2.2 Kugelkoordinaten (u = r, v = d, w = ip) 103 / Anwendung in der Differenzialgeometrie 106 // 7 Vektorielle Integrale 107 / 7.1 Grundregeln 107 / 7.2 Linien- und Umlaufintegrale 108 / 7.3 Flächen- und Hüllenintegrale 110 / 7.3.1 Inhalte ebener Flächen 110 / 7.3.2 Oberflächen krummer Flächen 111 / Anwendung in der Stereometrie 113 / 7.4 Schwerpunkte 115 / 7.4.1 Körperschwerpunkt 115 / Anwendung in der Stereomechanik 116 / 7.4.2 Flächenschwerpunkt 116 / 7.5 Integration vektorieller Differenzialgleichungen 117 / 7.5.1 Anwendung auf Bahnen im Schwerkraftfeld der Erde 117 / Freier Fall 117 / Ballistische Flugbahn 118 / 7.5.2 Anwendung auf Bahnen im Schwerkraftfeld der Sonne 119 // 8 Integralsätze 121 / 8.1 Satz von Stokes 121 / 8.1.1 Herleitung 121 / 8.1.2 Folgerungen 123 / 8.1.3 Anwendung in der Elektrodynamik 124 / 8.2 Satz von Gauß 125 / 8.2.1 Herleitung 125 / 8.2.2 Folgerungen 126 / 8.2.3 Anwendung in Hydro- und Elektrodynamik 127 / Archimedisches Prinzip 127 / Kontinuitätsgleichungen 128 / 8.3 Formel von Gauß 129 / 8.3.1 Herleitung 129 / 8.3.2 Folgerungen 129 / 8.4 Satz von Green 130 // 9 Potenzialtheorie 133 / 9.1 Grundlagen 133 / 9.1.1 Skalares Potenzial 133 / 9.1.2 Vektorpotenzial 134 / 9.1.3 Bedeutung der Potenziale 134 / 9.1.4 Ebene, quellen- und wirbelfreie Vektorfelder 135 / 9.2 Singulare Wirbel- und Quellgebiete 136 / 9.2.1 Ebene Zirkulationsströmung 136 / 9.2.2 Ebene Quellströmung 137 / 9.2.3 Räumliche Quellströmung 138 / 9.2.4 Anwendung in der Aerodynamik 139 / 9.3 Greensche Punktion 142 / 9.3.1 Integration der poissonschen Differenzialgleichung 142 / Anwendung in der Elektrodynamik 145 / 9.3.2 Integration der laplaceschen Differenzialgleichung 146 / Dirichletsches Kreismodell 146 / Dirichletsches Kugelmodell 148 / Mittelwertsätze der Potenzialtheorie 149 / 9.3.3 Integration der helmholtzschen Differenzialgleichung 150 // 10 Variable Integrationsbereiche 155 / 10.1 Linienintegrale 155 / 10.1.1 Sonderfälle 155 / 10.1.2 Anwendung in der Strömungslehre 156 / 10.2 Flächenintegrale 157 / 10.2.1 Sonderfälle 157 / 10.2.2 Anwendung in der Elektrodynamik 158 / 10.3 Raumintegrale 158 // 11 Variationsrechnung 161 / 11.1 Geschichte 161 / 11.2 Probleme ohne Nebenbedingungen 162 / 11.2.1 Eulersche Differenzialgleichung 162 / 11.2.2 Variable Randpunkte 163 / 11.2.3 Zweidimensionale Probleme 164 / 11.2.4 Anwendung in der Geometrie 165 / 11.2.5 Anwendungen in der Strahlenoptik 166 / Fermatsches Prinzip 166 / Lichtstrahl-Geometrie 167 / Snelliussches Brechungsgesetz 167 / 11.2.6 Anwendungen in der Mechanik 169 / Hamiltonsches Prinzip 169 / Brachistochrone 171 / Kettenlinie und Katenoid 172 / 11.2.7 Singulare Extremalen 174 / 11.3 Probleme mit Nebenbedingungen 175 / 11.3.1 Nebenbedingungen in Gleichungsform 175 / 11.3.2 Nebenbedingungen in Integralform 176 / 11.3.3 Anwendungen in der Geometrie 176 / Geodätische Linien 176 / Problem der Dido 177 // 12 Elemente der Tensorrechnung 179 / 12.1 Grundlagen 179 / 12.1.1 Lineare Vektor-Transformation 179 / 12.1.2 Tensor 180 / Tensormerkmale 180 / Tensorstufen 181 / 12.1.3 Beispiele aus der 3-dimensionalen Vektorrechnung 182 / Parallele Vektoren 182 / Kreuzprodukt 182 / Vektorfeld 182 / Rotor 183 / 12.1.4 Beispiele aus der klassischen Physik 183 / Kristalloptik 183 / Stereomechanik 183 / Elastomechanik 184 / 12.1.5 Skalare Produkte polarer Vektoren 185 / 12.2 Wechsel des Bezugssystems 186 / 12.2.1 Alternativen der Vektorzerlegung 186 / Kontravariante Komponenten 186 / Kovariante Komponenten 187 / 12.2.2 Riemannsche Geometrie 188 / 12.3 Orthogonale Transformation 189 / 12.3.1 Drehung 189 / 12.3.2 Tensortransformation 191 / 12.3.3 Lorentz-Transformation 192 / Anwendung in der Elektrodynamik 195 / Anwendung in der Mechanik 196 / 12.4 Eigensystem 198 / 12.4.1 Eigenvektoren 198 / 12.4.2 Tensorfläche 199 / 12.4.3 Invarianten 201 // Anhang: Lösung der Aufgaben 203 / Zu Kapitel 1: Grundlagen der Vektoralgebra 203 / Zu Kapitel 2: Produkte aus Vektoren 204 / Zu Kapitel 3: Analytische Geometrie 220 / Zu Kapitel 4: Feldtheorie 230 / Zu Kapitel 5: Differenzialgeometrie 243 / Zu Kapitel 6: Krummlinige rechtwinklige Koordinaten u, v, w 2 5 9 / Zu Kapitel 7: Vektorielle Integrale 268 / Zu Kapitel 8: Integralsätze 278 / Zu Kapitel 9: Potenzialtheorie 281 / Zu Kapitel 10: Variable Integrationsbereiche 294 / Zu Kapitel 11: Variationsrechnung 295 / Zu Kapitel 12: Elemente der Tensorrechnung 299 / Stichwortverzeichnis 311