Schwingungen treten als nützliche oder auch als störende Erscheinungen fast überall in Natur und Technik auf. Deshalb ist es wichtig, sie zu verstehen, zu deuten oder auch in gewünschter Weise zu beeinflussen. Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die mathematische Behandlung von Schwingungen. In der aktuellen Auflage wurden der Text und die Bilder überarbeitet sowie konstruktive Hinweise von Fachkollegen berücksichtigt.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Grundbegriffe und Darstellungsmittel 1
1.1 Grundbegriffe 1
1.2 Das Ausschlag-Zeit-Diagramm (x,/-Diagramm) 2
1.3 Zeigerdiagramm und komplexe Darstellung 4
1.4 Phasenkurven und Phasenportrait 8
1.5 Übergangsfunktion, Frequenzgang und Ortskurve 12
1.6 Möglichkeiten einer Klassifikation von Schwingungen 15
2 Freie Schwingungen 18
2.1 Ungedämpfte freie Schwingungen 18
2.1.1 Verschiedene Arten von Schwingern und ihre Differentialgleichungen 18
2.1.2 Das Verhalten linearer Schwinger 27
2.1.3 Das Verhalten nichtlinearer Schwinger 34
2.2 Gedämpfte freie Schwingungen 50
2.2.1 Berücksichtigung dämpfender Einflüsse 50
2.2.2 Lineare Schwinger 51
2.2.3 Nichtlineare Schwinger 61
2.3 Aufgaben 69
3 Selbsterregte Schwingungen 71
3.1 Aufbau und Wirkungsweise selbsterregungsfähiger Systeme 71
3.1.1 Schwinger- und Speicher-Typ 71
3.1.2 Energiehaushalt und Phasenportrait 73
3.2 Berechnungsverfahren 76
3.2.1 Allgemeine Verfahren 77
3.2.2 Berechnung mit linearisierten Ausgangsgleichungen 78
3.2.3 Das Verfahren von Ritz und Galerkin 81
3.2.4 Die Methode der langsam veränderlichen Amplitude 83
3.3 Beispiele von Schwingern mit Selbsterregung 84
3.3.1 Das Uhrenpendel 84
3.3.2 Der Röhren-Generator 89
3.3.3 Reibungsschwingungen 91
3.4 Kippschwingungen 95
3.4.1 Beispiele von Kippschwing-Systemen 95
3.4.2 Schwingungen in einem Relaisregelkreis 98
3.5 Aufgaben 101
4 Parametererregte Schwingungen 103
4.1 Beispiele von Schwingern mit Parametererregung 103
4.1.1 Das Schwerependel mit periodisch bewegtem Aufhängepunkt 103
4.1.2 Schwingungen in Antrieben 104
4.1.3 Der elektrische Schwingkreis mit periodischen Parametern 105
4.1.4 Nachbarbewegungen stationärer Schwingungen 105
4.1.5 Das ebene Fadenpendel mit veränderlicher Pendellänge 106
4.2 Berechnung eines Schaukelschwingers 106
4.2.1 Das Anwachsen der Amplituden 107
4.2.2 Der Einfluss von Dämpfung und Reibung 109
4.3 Parametererregte Schwingungen in linearen Systemen 111
4.3.1 Allgemeine mathematische Zusammenhänge 111
4.3.2 Mathieuschen Differentialgleichung 113
4.3.3 Methoden zur näherungsweisen Berechnung 117
4.4 Der Schaukelschwinger mit Parametererregung 117
4.5 Aufgaben 119
5 Erzwungene Schwingungen 120
5.1 Die Reaktion linearer Systeme auf nichtperiodische äußere Erregungen 121
5.1.1 Übergangsfunktionen bei Erregung durch eine Sprungfunktion 121
5.1.2 Übergangsfunktionen bei Erregung durch eine Stoßfunktion 123
5.1.3 Allgemeine Erregerfunktionen 124
5.2 Periodische Erregungen in linearen Systemen 126
5.2.1 Harmonische Erregerfunktionen 126
5.2.2 Lösung mit Hilfe der Fourier-Zerlegung 142
5.2.3 Das Anstückelverfahren 143
5.3 Anwendungen der Resonanztheorie 146
5.3.1 Schwingungsmessgeräte 146
5.3.2 Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten 149
5.4 Erzwungene Schwingungen von nichtlinearen Schwingern 154
5.4.1 Problemstellung und Lösungsmöglichkeiten 154
5.4.2 Schwinger mit unstetiger Rückführfunktion 156
5.4.3 Harmonische Erregung von gedämpften nichtlinearen Schwingern 161
5.4.4 Oberschwingungen, Kombinationsfrequenzen und Unterschwingungen 168
5.4.5 Gleichrichterwirkungen 170
5.4.6 Erzwungene Schwingungen in selbsterregungsfähigen Systemen 171
5.5 Aufgaben 174
6 Koppelschwingungen 176
6.1 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden 176
6.1.1 Freie Schwingungen eines ungedämpften linearen Koppelschwingers 177
6.1.2 Eigenschwingungen und Hauptkoordinaten 179
6.1.3 Eigenfrequenzen als Extremwerte eines Energieausdruckes 182
6.1.4 Das Schwerependel mit elastischem Faden 183
6.1.5 Das Körperpendel mit drehbarer Platte 186
6.1.6 Erzwungene Schwingungen eines linearen Koppelschwingers 188
6.2 Lineare Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden 190
6.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen 190
6.2.2 Eigenschwingungen und Hauptkoordinaten 193
6.2.3 Schwingerketten 196
6.2.4 Freie gedämpfte Schwingungen 200
6.2.5 Erzwungene Schwingungen 202
6.2.6 Allgemeine Schwingungssysteme 205
6.3 Verfahren zur Schwingungsanalyse am Beispiel einer Drehschwingerkette 206
6.3.1 Restgrößenverfahren 209
6.3.2 Übertragungsmatrizen-Verfahren 211
6.3.3 Methode der finiten Elemente 214
6.4 Aufgaben 216
7 Kontinuumsschwingungen 219
7.1 Saite, Dehn- und Torsionsstab 219
7.1.1 Bewegungsgleichungen für freie, ungedämpfte Schwingungen 219
7.1.2 Lösung der Wellengleichung 222
7.2 Balken 226
7.2.1 Bewegungsgleichung für freie, ungedämpfte Balkenschwingungen 226
7.2.2 Lösung der Differentialgleichung für Balkenschwingungen 227
7.2.3 Beispiele für allgemeinere Balkenprobleme 230
7.3 Erweiterungen auf gedämpfte und erzwungene Schwingungen 234
7.3.1 Freie gedämpfte Schwingungen 236
7.3.2 Erzwungene Schwingungen 237
7.4 Näherungsverfahren 240
7.4.1 Diskretisierungsverfahren 240
7.4.2 Schrankenverfahren 245
7.5 Aufgaben 250
8 Chaotische Bewegungen 252
8.1 Zeitdiskrete Systeme 252
8.1.1 Die logistische Abbildung 252
8.1.2 Konzept und Anwendung der Poincare-Abbildung 258
8.2 Zeitkontinuierliche Systeme 261
8.2.1 Konservative Systeme 262
8.2.2 Homokline Punkte und die Methode von Melnikov 264
8.2.3 Dissipative Systeme und Attraktoren 266
8.2.4 Merkmale regulärer und chaotischer Bewegungen 267
8.3 Beispiele 271
8.3.1 Der Reibungsschwinger mit Fremderregung 272
8.3.2 Der Duffing-Schwinger 279
Lösungen der Aufgaben 282
Literaturverzeichnis 289
Sachwortverzeichnis 294