Die Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt eine wichtige Grundlage für die
Schätzung von statistischen Parametern dar. Daher führt das Lehrbuch
zunächst umfassend in wesentliche Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie
ein. Ausführlich werden Zufallsvariablen und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen erläutert. Anschließend stellt der Band die
gängigsten Verfahren der Parameterschätzung vor, zu denen u. a. die
Maximum-Likelihood-Schätzung und die immer populärer werdenden Bayes-
Verfahren gehören.
Um die Darstellung der statistischen Konzepte nicht zu überfrachten, wird
in diesem Buch auf mathematische Ableitungen und Beweise weitgehend
verzichtet. Die Inhalte werden durch konsequenten Bezug auf anschauliche
Beispiele nachvollziehbar vermittelt. Zusätzlich wird das Vorgehen mit den
gängigen Statistikprogrammen SPSS und R beschrieben. Der Text wird anhand
von Kästen, Zusammenfassungen und Abbildungen strukturiert. Vertiefende
Informationen stehen auf der Webseite zum Buch zur Verfügung.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Über dieses Buch 9
1.1 Zum Inhalt dieses Buches 11
1.2 Danksagung 13
2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 15
2.1 Wozu wird die Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt? 17
2.1.1 Das Konzept der Wahrscheinlichkeit im Alltag und in der Wissenschaft.. 17
2.1.2 Zufall, Ergebnisse und Ereignisse: Ein einführendes Beispiel 19
2.2 Beschreibung von Zufallsvorgängen 21
2.2.1 Ergebnisräume 21
2.2.2 Ereignisräume 24
2.3 Mengenoperationen 25
2.4 Wahrscheinlichkeit 29
2.4.1 Wahrscheinlichkeiten und ihre Interpretation 31
2.5 Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogorov 35
2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 38
2.7 Stochastische Unabhängigkeit 41
2.8 Rechnen mit bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten 43
2.8.1 Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit 44
2.8.2 Der Satz von Bayes 46
2.9 Kombinatorik 51
2.10 Software 59
2.10.1 R 59
Zusammenfassung 60
Zentrale Begriffe 61
Notation 64
3 Zufallsvariablen 65
3.1 Definition von Zufallsvariablen 68
3.2 Diskrete Zufallsvariablen 76
3.3 Stetige Zufallsvariablen und ihre Verteilungen 81
3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen: Stetige
Gleichverteilung 86
6 Inhaltsverzeichnis
3.3.2 Normalverteilung 87
3.4 Quantile von Zufallsvariablen 92
3.4.1 Quantile stetiger Zufallsvariablen 92
3.4.2 Quantile diskreter Zufallsvariablen 94
3.5 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen 95
3.5.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen 96
3.5.2 Varianz einer Zufallsvariablen 98
3.6 Erwartungswert und Varianz der Normalverteilung 100
3.7 Erwartungswert und Varianz transformierter Zufallsvariablen 101
3.7.1 Erwartungswert transformierter Zufallsvariablen 101
3.7.2 Varianz transformierter Zufallsvariablen 103
3.7.3 Standardisierung von Zufallsvariablen 104
3.8 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 105
3.8.1 Zweidimensionale Zufallsvariablen und deren Verteilung 106
3.8.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 113
3.8.3 Berechnungsformeln für ein- und zweidimensionale Zufallsvariablen .... 114
3.8.4 Kovarianz und Korrelation von Zufallsvariablen 116
3.9 Rechnen mit Erwartungswerten und Varianzen von Zufallsvariablen 118
3.9.1 Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen 118
3.9.2 Varianz der Summe von Zufallsvariablen 118
Zusammenfassung 122
Zentrale Begriffe 125
Notation 128
4 Verteilungen 129
4.1 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 131
4.1.1 Die Binomialverteilung 131
4.1.2 Die hypergeometrische Verteilung 138
4.1.3 Die geometrische Verteilung 142
4.1.4 Die negative Binomialverteilung 143
4.1.5 Die Poissonverteilung 144
4.1.6 Die Multinomialverteilung 146
4.2 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 149
4.2.1 Die stetige Gleichverteilung 149
4.2.2 Die Betaverteilung 150
4.2.3 Die £2-Verteilung 152
4.2.4 Zur Bedeutung der Freiheitsgrade 160
4.2.5 Die (-Verteilung 161
4.2.6 Die F-Verteilung 165
4.2.7 Zusammenhänge zwischen der Normal-, x 2 - , *-> u n d F - V e r t e i l u n g 168
Inhaltsverzeichnis 7
4.3 Software 169
4.3.1 SPSS 169
4.3.2 R 172
Zusammenfassung 175
Zentrale Begriffe 175
Notation 177
5 Stichprobenverteilungen 179
5.1 Stichprobenverteilung einer Statistik 181
5.2 Stichprobenverteilung des Mittelwerts einer normalverteilten Zufallsvariablen
183
5.3 Stichprobenverteilung des Mittelwerts nicht normalverteilter Zufallsvariablen
188
5.4 Stichprobenverteilung von Anteilswerten 193
5.5 Stichprobenverteilung der Varianz 198
5.6 Bootstrap-Verfahren 199
Zusammenfassung 205
Zentrale Begriffe 206
Notation 207
6 Punktschätzung von Parametern 209
6.1 Einleitendes Beispiel 211
6.2 Gütekriterien von Schätzern 214
6.2.1 Erwartungstreue 215
6.2.2 Konsistenz 217
6.2.3 Effizienz 219
6.3 Maximum-Likelihood-Schätzung 221
6.3.1 Schätzung des Parameters einer Binomialverteilung 221
6.3.2 Schätzung des Erwartungswerts einer Normalverteilung 223
6.3.3 Rationale der Maximum-Likelihood-Schätzung 226
6.4 Methode der kleinsten Quadrate 232
6.5 Bayesianische Schätzmethoden 236
6.6 Bootstrap-Verfahren 245
Zusammenfassung 245
Zentrale Begriffe 247
Notation 249
8 Inhaltsverzeichnis
7 Intervallschätzungen 251
7.1 Konfidenzintervalle 254
7.1.1 Interpretation von Konfidenzintervallen 256
7.2 Konfidenzintervalle für Erwartungswerte 257
7.2.1 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert n normalverteilter Variablen
mit bekannter Varianz a2 258
7.2.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert ju normalverteilter Variablen
mit unbekannter Varianz o2 260
7.2.3 Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung 262
7.3 Konfidenzintervalle für Varianzen 264
7.4 Konfidenzintervalle für Anteilswerte 266
7.4.1 Approximative Konfidenzintervalle für Anteilswerte 266
7.4.2 Wilson-Konfidenzintervalle 267
7.5 Konfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten in linearen
Modellen 270
7.6 Konfidenzintervalle für die Produkt-Moment-Korrelation 272
7.7 Einseitige Konfidenzintervalle 275
7.8 Bootstrap-Intervalle 277
7.9 Bayesianische Intervallschätzungen 278
7.10 Software 281
7.10.1 SPSS 281
7.10.2 R 283
Zusammenfassung 286
Zentrale Begriffe 287
Notation 289
Anhang 291
Literatur 293
Glossar 294
Sachregister 304
Normalverteilungstabelle 306
Quantile der x2-Verteilung 309
Quantile der t-Verteilung 313
Quantile der F-Verteilung 315