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Nach einem Schnelldurchlauf zu Algebra, Funktionen und ihre Darstellung wird der Grenzwertbegriff eingeführt und die Anfänge von Differenziation und Integration abgehandelt.

 

 

Über den Autor

Mark Ryan arbeitet seit über 20 Jahren als Mathematiklehrer. Er ist Autor von »Analysis für Dummies« und »Übungsbuch Analysis für Dummies«.

 

 

Inhaltsverzeichnis:

Einführung 19 / Teil I: Analysis – ein Überblick 25 / Kapitel 1: Was ist Analysis? 27 / Kapitel 2: Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 33 / Kapitel 3: Warum die Analysis funktioniert 39 / Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 45 / Kapitel 4: Überblick über Vor-Algebra und Algebra 47 / Kapitel 5: Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 63 / Kapitel 6: Trigonometrie ist Trumpf! 81 / Teil III: Grenzwerte 85 / Kapitel 7: Grenzwerte und Stetigkeit 87 / Kapitel 8: Grenzwerte auswerten 97 / Teil IV: Differenziation 107 / Kapitel 9: Differenziation – Orientierung 109 / Kapitel 10: Regeln für die Differenziation – was sein muss, muss sein! 127 / Kapitel 11: Differenziation und die Form von Kurven 137 / Kapitel 12: Wunschlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 157 / Teil V: Integration 177 / Kapitel 13: Integration und Flächenannäherung – ein Einstieg 179 / Kapitel 14: Integration: Differenziation rückwärts 195 / Kapitel 15: Integrationstechniken für Profis 219 / Kapitel 16: Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 233 / Teil VI: Der Top-Ten-Teil 253 / Kapitel 17: Zehn Dinge, die Sie sich merken sollten 255 / Kapitel 18: Zehn Dinge, die Sie vergessen können 257 / Anhang: Lösungen 259 / Abbildungsverzeichnis 279 / Stichwortverzeichnis 283

Einführung 19 / Über dieses Buch 19 / Konventionen in diesem Buch 20 / Was Sie nicht lesen müssen 20 / Törichte Annahmen über die Leser 20 / Wie dieses Buch aufgebaut ist 21 / Teil I: Analysis - ein Überblick 21 / Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 21 / Teil III: Grenzwerte 21 / Teil IV: Differenziation 22 / Teil V: Integration 22 / Teil VI: Der Top-Ten-Teil 22 / Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22 / Wie es weitergeht 23 / / TEIL I / ANALYSIS - EIN ÜBERBLICK 25 / Kapitel 1 / Was ist Analysis? 27 / Was Analysis nicht ist 27 / Was also ist Analysis? 28 / Beispiele aus der Praxis 30 / Aufgaben 31 / / Kapitel 2 / Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 33 / Differenziation - Definition 33 / Die Ableitung ist eine Steigung 33 / Die Ableitung ist eine Änderungsrate 35 / Und jetzt zur Integration 36 / Aufgaben 38 / / Kapitel 3 / Warum die Analysis funktioniert 39 / Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 39 / Was passiert beim Vergrößern? 40 / Zwei Warnungen - nur zur Vorsicht 43 / Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zubetreiben 43 / Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich«überhaupt? 43 / Aufgaben 44 / / TEIL II / DIE VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE ANALYSIS 45 / Kapitel 4 / Überblick über Vor-Algebra und Algebra 47 / Was Sie über Brüche wissen sollten 47 / Ein paar schnelle Regeln 48 / Brüche multiplizieren 48 / Brüche dividieren 49 / Brüche addieren 49 / Brüche subtrahieren 51 / Brüche kürzen 51 / Betrag - absolut einfach 53 / Potenzen machen stark 53 / Zu den Wurzeln 55 / Wurzeln, Wurzeln überall! 55 / Logarithmen wirklich keine Hexerei 56 / Faktorisieren - das wollte ich schon immer! 57 / Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 57 / Quadratische Gleichungen lösen 58 / Methode 1: Faktorisieren 58 / Methode 2: Die 59 / Methode 3: Quadratische Ergänzung 60 / Aufgaben 61 / / Kapitel 5 / Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 63 / Was ist eine Funktion? 63 / Die definierende Eigenschaft einer Funktion 64 / Unabhängige und abhängige Variablen 65 / Funktionsnotation 65 / Zusammengesetzte Funktionen 66 / Wie sieht eine Funktion aus? 67 / Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 68 / Geradeheraus - Geraden in der Ebene 68 / Parabel- und Betragsfunktionen - gerade heraus 72 / Einige ungerade Funktionen 73 / Exponentialfunktionen 73 / Logarithmische Funktionen 74 / Inverse Funktionen 74 / Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 76 / Horizontale Transformationen 76 / Vertikale Transformationen 78 / Aufgaben 78 / / Kapitel 6 / Trigonometrie ist Trumpf! 81 / Trigonometrie im Crashkurs 81 / Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 82 / Inverse trigonometrische Funktionen 83 / Aufgaben 84 / / TEIL III / GRENZWERTE 85 / Kapitel 7 / Grenzwerte und Stetigkeit 87 / Bis an die Grenzen 87 / Drei Funktionen erklären den Grenzwert 88 / Jetzt wird es etwas einseitig 90 / Die formale Definition eines Grenzwerts - wie erwartet! 91 / Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 91 / Grenzwerte am Rand der Unendlichkeit - haben Sie gute Schuhe an? 92 / Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 93 / Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 94 / Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 94 / Die Mathematik der Stetigkeit 95 / Aufgaben 96 / / Kapitel 8 / Grenzwerte auswerten 97 / Einfache Grenzwerte 97 / Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 97 / Einsetzen und Auskochen 98 / Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 98 / Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 99 / Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen 100 / Faktorisieren aus Leidenschaft 100 / Grenzwerte bei unendlich auswerten 102 / Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 103 / Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 104 / Aufgaben 105 / / TEIL IV / DIFFERENZIATION 107 / Kapitel 9 / Differenziation - Orientierung 109 / Differenziation: Sucht die Steigung! 109 / Die Steigung einer Geraden 111 / Die Ableitung einer Geraden 113 / Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 113 / Geschwindigkeit - die uns vertrauteste Änderungsrate 113 / Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 114 / Die Ableitung einer Kurve 115 / Der Differenzenquotient 117 / Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 123 / Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 124 / Aufgaben 125 / / Kapitel 10 / Regeln für die Differenziation - was sein muss, muss sein! 127 / Grundlegende Regeln der Differenziation 127 / Die Konstantenregel 128 / Die Potenzregel 128 / Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten 129 / Die Summenregel - die kennen Sie schon 130 / Die Differenzregel - macht kaum einen Unterschied 130 / Trigonometrische Funktionen differenzieren 130 / Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 130 / Differenziationsregeln für Profis - Wir sind die Champs! 132 / Die Produktregel 132 / Die Quotientenregel 132 / Die Kettenregel: implizite Differenziation 133 / Aufgaben 136 / / Kapitel 11 / Differenziation und die Form von Kurven 137 / Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 137 / Über Berge und durch Täler: Positive und negative Steigungen 137 / Krümmung und Wendepunkte 138 / Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 139 / Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 139 / Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 139 / Von nun an ging's bergab! 140 / Ihr Reisetagebuch 140 / Lokale Extremwerte finden 141 / Die kritischen Werte herausleiern 141 / Der Test der ersten Ableitung 142 / Der Test der zweiten Ableitung - Testen, bis die Ärztin kommt 144 / Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 145 / Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden 147 / Krümmung und Wendepunkte bestimmen 149 / Die Graphen von Ableitungen - Bildschön! 152 / Aufgaben 155 / / Kapitel 12 / Wunschlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 157 / Wie Sie das Beste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 157 / Das maximale Volumen einer Schachtel 158 / Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 160 / Maximale und minimale Höhe 161 / Geschwindigkeit und Abstand 163 / Gesamte zurückgelegte Distanz 164 / Gummigeruch und Bremsstreifen: Beschleunigung und Abbremsen 165 / Und jetzt alles zusammen 165 / (Relativ) verkettete Änderungsraten 166 / Einen Trog auffüllen 166 / Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 169 / Die Aufgabenstellung mit der Tangente 170 / Das Normallinienproblem 171 / Aufgaben 174 / / TEIL V / INTEGRATION 177 / Kapitel 13 / Integration und Flächenannäherung - ein / Einstieg 179 / Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 179 / Der Umgang mit negativen Flächen 181 / Flächen annähern 182 / Flächen mithilfe linker Summen annähern 182 / Flächen mithilfe rechter Summen annähern 184 / Die Summennotation 186 / Die Grundlagen summieren 186 / Riemann-Summen in Sigma-Notation 187 / Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 190 / Aufgaben 193 / / Kapitel 14 / Integration: Differenziation rückwärts 195 / Stammfunktionen suchen - die umgekehrte Differenziation 195 / Wenn es ganz genau zugehen soll 197 / Die müßige Flächenfunktion 197 / Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis 199 / Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2 204 / Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 205 / Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 209 / Umkehrregeln für Stammfunktionen 209 / Umkehrregeln für Denkschwache 209 / Die etwas schwierigere umgekehrte Potenzregel 210 / Raten und Prüfen 211 / Die Substitutionsmethode 213 / Flächen mithilfe von Substitutionsaufgabenbestimmen 214 / Aufgaben 216 / / Kapitel 15 / Integrationstechniken für Profis 219 / Partielle (teilweise) Integration: Teile und Herrsche! 219 / Das u auswählen 222 / Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 223 / A, B und C in Partialbrüchen (Teilbrüchen) 225 / 1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 226 / 2. Fall: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 227 / Bonustrack: Koeffizienten ähnlicher Terme gleichsetzen 229 / Aufgaben 230 / / Kapitel 16 / Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 233 / Der Mittelwertsatz für Integrale und der Durchschnittswert 234 / Die Fläche zwischen zwei Kurven - der doppelte Spaß 237 / Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers 241 / Die Pfannkuchenstapelmethode 241 / Die Stapel-Donuts-auf-die-sich-jemand-gesetzt>hat-Methode 242 / Bogenlängen bestimmen 244 / Die Regel von L‘Hopital: Analysis nicht nur im Krankenhaus 246 / Uneigentliche Integrale: Am Verlauf zu erkennen 248 / Uneigentliche Integrale mit vertikalen Asymptoten 248 / Eine vertikale Asymptote an einer der / Integrationsgrenzen 248 / Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei / unendlichen Integrationsgrenzen 250 / Aufgaben 252 / / TEIL VI / DER TOP-TEN-TEIL 253 / Kapitel 17 / Zehn Dinge, die Sie sich merken sollten 255 / a2 -b2 = (a-b)(a + b) 255 / 9 = 0, aber 5 ist Undefiniert. Und 8 erst recht! 255 / Irgendetwas0 = 1 255 / SghCahTga 256 / Trigonometrische Werte für 30-,45- und 60-Grad-Winkel 256 / sin20 + cos20 = 1 256 / Die Produktregel 256 / Die Quotientenregel 256 / dexee; Cx 256 / Wo Sie Ihre Schlüssel hingelegt haben 256 / / Kapitel 18 / Zehn Dinge, die Sie vergessen können / (a -i- b)2 = a2 + 62 - Falsch’ / Va2 + 62 =a-¥b- Falsch! / Die Steigung ist ycy - Falsch! / 30+b = b - Falsch? ] / 3a+c C / d,3 = 3n2 - Falsch! / dx ri / Wenn k eine Konstante ist, dann ist ^-kx = k'x + kx' - Falsch! / Cx / Quotientenregel: & = "7" - Falsch! / J x?dx = 3x3 - Falsch! / (sin x)dx = cosx+ C- Falsch! / Den Satz von Green. Schon richtig, aber / / Anhang: Lösungen 259 / Kapitell 259 / Kapitel 2 259 / Kapitels 260 / Kapitel 4 262 / Kapitels 263 / Kapitel 6 264 / Kapitel 264 / Kapitels 265 / Kapitel 9 266 / Kapitel 10 267 / Kapitel 11 268 / Kapitel 12 269 / Kapitel 13 270 / Kapitel 14 272 / Kapitells 273 / Kapitel 16 275 / / Abbildungsverzeichnis 279 / Stichwortverzeichnis 283