Wie ist ein Ring definiert, wann kann man Grenzprozesse vertauschen, was sind lineare Ordnungen und wozu benötigt man das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare Analysis, Höhere Analysis, Topologie und Geometrie, Numerik, Stochastik und Mengenlehre und Logik. Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein. (Verlagstext)
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1 Grundlagen 1
1.1 Die Mathematik und ihre Sprache 2
1.2 Junktoren 4
1.3 Quantoren 6
1.4 Beweise 7
1.5 Menge und Element 9
1.6 Mengenoperationen 12
1.7 Relationen 14
1.8 Punktionen 16
1.9 Äquivalenzrelationen 19
1.10 Partielle und lineare Ordnungen 21
1.11 Existenz und algorithmische Berechenbarkeit 23
1.12 Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen 25
2 Zahlen 29
2.1 Natürliche Zahlen 30
2.2 Ganze und rationale Zahlen 32
2.3 Reelle Zahlen 34
2.4 Komplexe Zahlen 37
2.5 Quaternionen 39
2.6 6-adische Darstellungen 41
2.7 Irrationale Zahlen 43
2.8 Algebraische und transzendente Zahlen 45
2.9 Die Zahlen n und e 47
2.10 Infinitesimale Größen 49
2.11 p-adische Zahlen 51
2.12 Zufallszahlen 53
3 Zahlentheorie 55
3.1 Teilbarkeit 56
3.2 Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik 57
3.3 Kongruenzen 59
3.4 Einfache Primzahltests 61
3.5 Das RSA-Verfahren 64
3.6 Die Verteilung der Primzahlen 66
3.7 Quadratische Reste 69
3.8 Kettenbrüche 72
3.9 Rationale Approximationen algebraischer Zahlen; Liouvillesche Zahlen 74
3.10 Diophantische Gleichungen 77
3.11 Elliptische Kurven 79
3.12 Zahlkörper 80
4 Diskrete Mathematik 85
4.1 Kombinatorisches Zählen 86
4.2 Graphen 88
4.3 Euler-Züge 90
4.4 Hamilton-Kreise und das P / NP-Problem 92
4.5 Bäume 94
4.6 Färbungen und der Satz von Ramsey 95
4.7 Bipartite Graphen 97
4.8 Matroide 100
4.9 Netzwerke und Flüsse 102
4.10 Kürzeste Wege 104
4.11 Transitivierung von Relationen 106
4.12 Planare Graphen und Minoren 107
5 Lineare Algebra 111
5.1 Vektorräume 112
5.2 Lineare Unabhängigkeit und Dimension 114
5.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 116
5.4 Lineare Gleichungssysteme 119
5.5 Determinanten 121
5.6 Euklidische und unitäre Vektorräume 123
5.7 Normierte Vektorräume 125
5.8 Orthogonalität 127
5.9 Dualität 129
5.10 Eigenwerte und Eigenvektoren 131
5.11 Diagonalisierung 133
5.12 Singulärwertzerlegung und Jordansche Normalform 135
6 Algebra 137
6.1 Gruppen 138
6.2 Ringe 142
6.3 Körper 143
6.4 Normalteiler und Faktorgruppen 144
6.5 Ideale und Teilbarkeit in Ringen 147
6.6 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 149
6.7 Quotientenkörper 152
6.8 Polynome 153
6.9 Körpererweiterungen 156
6.10 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 157
6.11 Galoistheorie 158
6.12 Lösbarkeit polynomialer Gleichungen durch Radikale 162
7 Elementare Analysis 165
7.1 Folgen und Grenzwerte 166
7.2 Unendliche Reihen und Produkte 168
7.3 Stetige Funktionen 170
7.4 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen 172
7.5 Differenzierbare Funktionen 174
7.6 Das Riemannsche Integral 176
7.7 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 178
7.8 Vertauschung von Grenzprozessen 180
7.9 Taylorentwicklung und Potenzreihen 182
7.10 Fourierreihen 185
7.11 Fouriertransformation 187
7.12 Kurven im Rd 189
8 Höhere Analysis 191
8.1 Metrische und normierte Räume 192
8.2 Partielle und totale Differenzierbarkeit 195
8.3 Mittelwertsatz, Taylorformel und lokale Extrema 197
8.4 Der Satz von Picard-Lindelöf 198
8.5 Stabilität von Gleichgewichtspunkten 200
8.6 Das Lebesguesche Maß 202
8.7 Das Lebesguesche Integral 204
8.8 Der Gaußsche Integralsatz 207
8.9 Holomorphe Funktionen 209
8.10 Der Residuensatz 211
8.11 Fixpunktsätze 213
8.12 Der Bairesche Kategoriensatz 215
9 Topologie und Geometrie 217
9.1 Topologische Räume 218
9.2 Stetige Abbildungen 221
9.3 Beschreibung von Topologien 222
9.4 Produkträume und Quotientenräume 224
9.5 Zusammenhang 227
9.6 Trennung 229
9.7 Kompaktheit 231
9.8 Flächen im R3 233
9.9 Mannigfaltigkeiten 238
9.10 Homotopie 241
9.11 Homologie 243
9.12 Euklidische und nichteuklidische Geometrie 245
10 Numerik 249
10.1 Die Kondition 250
10.2 Gleitkomma-Arithmetik 252
10.3 Numerische Stabilität 254
10.4 Das Gaußsche Eliminationsverfahren 257
10.5 Die Methode der kleinsten Quadrate 260
10.6 Eigenwertprobleme 262
10.7 Polynominterpolation 264
10.8 Die schnelle Fouriertransformation 266
10.9 Numerische Integration und Summation 268
10.10 Die Gaußschen Quadraturverfahren 270
10.11 Runge-Kutta-Verfahren 272
10.12 Das Newton-Verfahren 274
11 Stochastik 277
11.1 Wahrscheinlichkeitsräume 278
11.2 Zufallsvariable 280
11.3 Erwartungswert und Varianz 283
11.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 285
11.5 Null-Eins-Gesetze 288
11.6 Das Gesetz der großen Zahl 288
11.7 Der zentrale Grenzwertsatz 290
11.8 Parameterschätzung 293
11.9 Statistische Tests 295
11.10 Markovsche Ketten 297
11.11 Irrfahrten 300
11.12 Die Brownsche Bewegung 301
12 Mengenlehre und Logik 303
12.1 Mächtigkeiten 304
12.2 Das Diagonalverfahren 306
12.3 Die Russell-Antinomie 308
12.4 Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik 310
12.5 Das Auswahlaxiom 312
12.6 Das Zornsche Lemma 314
12.7 Paradoxa der Maßtheorie 315
12.8 Berechenbare Funktionen 317
12.9 Formale Beweise und Modelle 320
12.10 Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 323
12.11 Transfinite Zahlen 325
12.12 Die Kontinuumshypothese 327
Index 329