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Einstieg in die hyperbolische Geometrie vorzugsweise für (Lehramts-)Studierende der Mathematik sowie Lehrer und Schüler an Gymnasien. Mit zahlreichen mehrfarbigen Abbildungen.

Das Buch bietet einen neuen und sehr zugänglichen Einstieg in eine neue Geometrie, die vor gar nicht so langer Zeit entdeckt wurde. Diese Geometrie, die hyperbolisch genannt wird, spielte eine Schlüsselrolle in der Entwicklung der Mathematik. Vor ihrer Entdeckung waren sich die Mathematiker sicher, den uns umgebenden Raum zu studieren, wenn sie sich mit Geometrie beschäftigten. Danach war klar, dass es mehr als nur eine Geometrie gibt und die Mathematik nur Modelle studiert, mit denen die Realität mehr oder weniger gut beschrieben werden kann. Es ist nun die Rolle der Physik zu entscheiden, welches Modell am besten zur Beschreibung geeignet ist.

Das Neue an dem hier präsentierten Zugang ist der Einsatz eines CGS (Computer Geometrie System), mit dem viele Eigenschaften dieser Geometrie selbst entdeckt werden können. Das Buch bietet viele Aufgaben zur Eigenaktivität. Ausführliche Lösungen erlauben eine gute Kontrolle des Lernprozesses. Es ist in einfacher Sprache geschrieben mit dem Ziel, dass es selbst an einem Gymnasium zum Einsatz kommen kann, was der Autor bereits mehrfach erfolgreich praktiziert hat.

Aus dem Inhalt:

äVorwort v // 1 Das Parallelenpostulat 1 / 1.1 Die Geburtsstunde der modernen Mathematik 1 / 1.2 Die axiomatische Methode 1 / 1.3 Beweisversuche 3 / 1.4 Perspektivenwechsel 4 // 2 Das Modell der Halbebene 7 / 2.1 Einige Definitionen von EUKLID 7 / 2.2 Der Standpunkt von Hilbert 7 / 2.3 Die Bezeichnungen 8 / 2.4 Die h-Ebene 9 // 3 Beispiel eines CGS: GeoGebra 13 // 4 Die h-Reflexion 17 / 4.1 Eigenschaften, die eine h-Reflexion haben sollte 17 / 4.2 Indirekte Bestimmung des Bildes eines h-Punktes 18 // 5 Eigenschaften der e-Inversion 21 / 5.1 Abstand zum Inversionszentrum 21 / 5.2 Bilder von Geraden 21 / 5.3 Bilder von Kreisen 22 / 5.4 Die Winkeltreue 24 // 6 Anwendungen der h-Reflexion 27 // 7 h-Grundkonstruktionen 31 / 7.1 Die h-Senkrechte 31 / 7.2 Die h-Mittelsenkrechte 32 / 7.3 Die h-Winkelhalbierende 32 // 8 Geometrische Örter 35 / 8.1 Der h-Kreis 35 / 8.2 Die h-Abstandslinie 36 / 8.3 Die h-Thalespflaume 37 / 8.4 Werkzeuge 37 / 8.5 Anwendungen 38 // 9 Der Horozykel 41 / 9.1 Der Horozykel als unendlich großer h-Kreis 41 / 9.2 Der Horozykel als Grenzkurve einer h-Abstandslinie 42 / 9.3 Ein spezieller Horozykel 42 / 9.4 h-Kongruenz der Horozykeln 43 / 9.5 Die Reichhaltigkeit der hyperbolischen Geometrie 43 // 10 Die h-Winkelsumme im h-Dreieck 45 / 10.1 Die Beobachtung 45 / 10.2 Die h-Winkelsumme im h-Polygon 46 / 10.3 Ein neuer Kongruenzsatz 46 / 10.4 h-Parkettierungen 47 // 11 Hyperbolien und seine Probleme 53 / 11.1 Ein Modell für drei Dimensionen 53 / 11.2 Hyperbolien 54 / 11.3 Die Mutter mit ihren zwei Kindern 54 / 11.4 Das Problem des h-Tischs 56 / 11.5 Die Konstruktion von Wolkenkratzern 57 / 11.6 Das Problem der Orientierung in einer h-Stadt 58 // 12 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 61 // 13 Andere Modelle 65 / 13.1 Das Scheibenmodell nach Beltrami-Poincare 65 / 13.2 Das Halbkugelmodell 67 / 13.3 Das Scheibenmodell nach Beltrami-Klein 68 / 13.4 Das Kugelmodell 72 // 14 Sehen in Hyperbolien 73 / 14.1 Eigenschaften des Sehens 73 / 14.2 Die Skala 73 / 14.3 Die Straße 75 / 14.4 Parkettierung mit Säulen 77 / 14.5 Ein Haus 79 // 15 Distanz- und Flächenmessung 81 / 15.1 Anforderungen an die h-Distanz 81 / 15.2 Das Doppelverhältnis 81 / 15.3 Die h-Distanz 82 / 15.4 Anforderungen an den h-Flächeninhalt 85 / 15.5 Der h-Winkeldefekt 86 / 15.6 Vermischtes 87 // 16 Beweise 89 / 16.1 Eigenschaften der Kreisinversion 89 / 16.2 Eigenschaften der Kugelinversion 91 / 16.3 h-Kreis und h-Abstandslinie 91 / 16.4 Die Winkeltreue der Kreisinversion 95 / 16.5 Die h-Winkelsumme im h-Dreieck 97 // 17 Lösungen 99 // Bibliografie / Index