Zum Nachrechnen: 45 ist gleich 3*3 + 6*6. Es handelt sich also bei 45 um eine Zahl, die als Summe von zwei ganzzahligen Quadraten darstellbar ist. Bei der Nummer 242 funktioniert es auch. Geht das immer so, ob ungerade oder gerade, ob kleinere oder größere Zahl? Nein. Nicht jede natürliche Zahl ist in dieser Weise darstellbar. Wie lassen sich dann aber die Fälle charakterisieren, bei denen es geht? Steckt ein Gesetz dahinter?
Vielleicht ein Gesetz, das mit den in vieler Hinsicht rätselhaften Primzahlen zu tun hat, aus denen die Zahlen sich wie Moleküle aus Atomen zusammensetzen? Die mathematische Antwort, die man auf solche Fragen, letztlich in der Spur von großen Zahlentheoretikern wie Euler und Gauß, geben kann, wird von Nortmann im Detail nachgezeichnet. Es ist eine Antwort, die ins Gebiet der Primzahl-Theorie für höhere algebraische Zahlkörper weist. Was man aus ihr darüber lernen kann, wie anspruchsvolle Mathematik in charakteristischen Bereichen überhaupt funktioniert, ist die Grundierung für die philosophisch- erkenntnistheoretischen Teile des Buches. Zugleich liefert der Autor eine farbige wissenschafts- und kulturgeschichtliche Einbettung der Phänomene, und nicht zuletzt: Poesie und Satire sind in diesem sehr persönlichen, autobiographisch geprägten Buch ebenfalls dabei.
Ulrich Nortmann,
geb. 1956, Studium der Mathematik, Philosophie und Mittellateinischen Philologie in Göttingen. Promotion in Philosophie 1985 in Göttingen, Habilitation für Philosophie 1993 in Bonn. Seit 1999 Professor für Theoretische Philosophie und Wissenschaftstheorie an der Universität Saarbrücken. Zahlreiche Buchveröffentlichungen, zuletzt: Unscharfe Welt? Was Philosophen über Quantenmechanik wissen möchten.
Forschungsschwerpunkte: Logik, Sprachphilosophie, Theorie der Physik und der Mathematik, antike griechische Philosophie, Kunstphilosophie
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort 8
1 Phantasie und Folter 11
1.1 Goethe, Logik, Gruppentheorie 11
1.2 Torberg, Enzensberger, ganz kurz Hilbert 18
2 Piatons Pleite und Blüte 29
Athen, 363 v. Chr., im Hain des Akademos 29
2.1 Die Entdeckung der Abstraktion, Teil 1: Unkörperliches, besonders für Könige und Kanzler 32
2.2 Piaton: Geometrie und das Irrationale 36
2.3 Aristoteles: Irrationalität und Widerspruchsbeweise 41
2.4 Klassische Logik und konstruktive Beweise, und nochmals: Enzensberger 45
2.5 Piaton: Die Bilanz, und Thomas Mann spricht auch dazu 49
2.6 Piaton: Mathe-Fundierung und Mathe-Mystik 54
2.7 Aristoteles: Logik und Axiomatisierung 56
2.8 Euklid und andere: Der ordo geometricus 59
3 Kants Schuss: daneben, und Freges Rudern: zurück 65
3.1 Kant und die reinen Formen der Anschauung 65
3.2 Das Logizismus-Projekt 70
3.3 Die Gleichung "3 + 2 = 5" a la Leibniz, Dedekind und Frege 74
3.4 Die Gleichung "3 + 2 = 5", mengentheoretische Fortsetzung 80
3.5 Vollständige Induktion 85
Jena, um 1910 89
3.6 Frege, von Neumann und die Anzahlen 93
3.7 Frege: Verbohrter Außenseiter, bedeutend als Erfinder der Prädikatenlogik? 99
3.8 Russellsche Antinomie 104
4 Axiome und Konstruktionen 113
4.1 Peano-Prinzipien 113
4.2 Mengen-Axiomatik 116
4.3 Glaubenssachen? 119
4.4 Das Unendliche, zum ersten: Exzess und Sophisma 129
4.5 Das Unendliche, zum zweiten: Paradies 131
4.6 Die eingeholte Schildkröte 135
4.7 Mehr Zahlbereiche: zuerst Z 138
4.8 Komplikationen mit Äquivalenzklassen und ein erfolgreicher Test 140
4.9 Exkurs: Kommutative Addition und Segen vollständiger Induktion 143
4.10 Nachlese zu Z und der maßgeblichen Äquivalenzrelation 146
4.11 Reelle Zahlen, ganz kurz, und ein Sprung ins Komplexe 149
4.12 Zahlen wie Atome, und nochmals Induktion 155
4.13 Zahlen wie Moleküle 165
4.14 Gödel und die "formale" Mathematik 169
4.15 Gödelisierung 176
5 Die Theorie-Maschine kommt in Gang 181
Potsdam - Berlin, Spätsommer 1755 181
5.1 Die Entdeckung der Abstraktion, Teil 2: Äquivalenzklassen-Objekte, besonders für Zahlenfreunde 185
5.2 Restklassen 187
5.3 Gruppen von primen Restklassen 192
Bildteil 193
5.4 Was als Gruppen-Tortur begann 228
5.5 Ränge und Erzeugungen aus dem Einen 233
6 Maschine läuft: Algebraische Zahlentheorie 243
6.1 Das Quadratsummen-Problem: Zufall und Regularität 243
6.2 Vorspiel: Eine Lösungsidee 248
6.3 Teilbarkeitstheorie für ganze komplexe Zahlen 252
6.4 Zwischenspiel: Algebraik und Transzendenz, Vektorräume und Zorn 263
6.5 Nicht völlig losgelöst: Verbindungen zwischen alten und neuen Primzahlen 271
6.6 Kein Spiel: Im Ernst, zuletzt liegt es an der Trägheit 281
7 Nachspiel: Mathe über Mathe 287
Niedersachsen - New Jersey 287
7.1 Willst du Sicherheit? 301
7.2 Willst du Vollständigkeit? 304
7.3 Nichts mit Vollständigkeit 313
7.4 Sicherheit durch Rechtfertigung durch Zerstörung? 318
7.5 Orte der Unendlichkeit 323
8 Fakultäten, Animositäten 335
Fakultätsrat: Sitzungszimmer, Wintersemester 2012/13 335
8.1 Was Mathe nicht ist 344
8.2 Schnell abgemacht: Mathe und Naturwissenschaft 349
8.3 Mathe und Rechnen 353
8.4 Wie Mathe-Leute ticken 357
8.5 Komplexität und der richtige Umgang damit 363
8.6 Mephisto: Die Elite und der Schuh 367
8.7 Glücksrad: Das Auf und Ab von Fächern und anderen Gegebenheiten 370
8.8 Spinoza geht nicht? 375
8.9 Wissenschaft und Pseudo-Wissenschaft 380
8.10 Exkurs, erster Teil: Auf der Suche nach dem kürzesten Beweis 386
8.11 Exkurs, zweiter Teil: Die Evolution der Involution 392
8.12 Fortsetzung: Wissenschaft und Pseudo-Wissenschaft 400
8.13 Aussichten: Mathe mit GW-Zügen 403
Quellen und Dank 407
Verzeichnis der Definitionen und Sätze 411
Verzeichnis der Abbildungen 412
Bildnachweise 413
Personen und Sachen 415