Dieses Buch ist ein Schatzkästlein mit erklärenden und motivierenden Beiträgen, die genau zu den Vorlesungen im ersten Jahr des Mathe-Studiums passen.
Die Autoren geben dir durchdachte und gezielte Hilfestellung bei vielen üblichen Anfängerschwierigkeiten. Sie machen anschaulich und anwendbar, was in der Vorlesung immer zu kurz kommt.
Alle Artikel wurden zuerst für die Internet-Seite 'Matroids Matheplanet' geschrieben und sind für diese Ausgabe noch einmal sorgfältig durchgesehen und inhaltlich und didaktisch verbessert worden.
Der Herausgeber: Dipl.-Math. Martin Wohlgemuth. Studium in Köln, Diplom 1986, Schwerpunkt: Graphentheorie und Kombinatorische Optimierung. Berufliche Laufbahn in der SW-Entwicklung, Informatik-Projektleiter.
Martin Wohlgemuth ist Gründer (2001) und Herausgeber von „Matroids Matheplanet“, der größten Internet-Community für Mathematik und Physik im deutschen Sprachraum und mehr als 20000 Mitgliedern. Das Konzept für den Matheplaneten war von Anfang an auf freiwilliges, kollegiales, sogar freundschaftliches Zusammenwirken vieler Mitglieder ausgerichtet - auf der Basis gleicher Interessen, auf einer Ebene und mit dem verbindenden Ziel, der Mathematik ein menschliches Erscheinungsbild zu geben! (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort v
I Beweise und Beweistechnik 1
1 Was ist Mathematik? 3
1.1 Ausgewählte Antworten 4
1.2 Zusammenfassung 7
1.3 Empfehlenswerte Bücher 8
2 Mathematisch für Anfänger 11
2.1 Lektion 1: Vom Wort zum Satz 12
2.2 Lektion 2: Universelles Vokabular 17
2.3 Lektion 3: Prädikate 18
2.4 Lektion 4. Konjunktionen (Überleitungen) 20
2.5 Lektion 5: Schlussworte, Schlusspunkte 22
3 Beweise, immer nur Beweise 23
3.1 Beweisen lernen 23
3.2 Der Zweck der Übungen 24
3.3 Unterscheide wahr und falsch 24
3.4 Einige Gebote und Verbote 24
3.5 Mathematik ist Struktur 25
3.6 Mathematik für und durch die Praxis 26
3.7 Und wie lernt man beweisen? 26
4 Die Beweisverfahren 27
4.1 Der direkte Beweis 27
4.1.1 Einfache Zahlentheorie 27
4.1.2 Aussagenlogik 29
4.1.3 Gesetze der Aussagenlogik 31
4.1.4 Mengenlehre 32
4.1.5 Fakultät und Binomialkoeffizient 33
4.2 Der indirekte Beweis 35
4.2.1 Wurzel aus 2 ist nicht rational 35
4.2.2 Es gibt unendlich viele Primzahlen 36
4.3 Der konstruktive Beweis 37
4.3.1 Nullstelle einer Funktion 37
5 Das Prinzip der vollständigen Induktion 39
5.1 Wer hat die vollständige Induktion erfunden? 40
5.2 Ist Induktion nur für Folgen und Reihen? 41
5.3 Wie funktioniert die vollständige Induktion? 41
5.4 Kann man sich auf die vollständige Induktion verlassen? 43
5.5 Kann man wirklich den Induktionsschluss unendlich oft anwenden? .. 44
5.6 Kann man Induktion immer anwenden? 45
5.7 Induktion ist nicht geeignet, wenn 46
5.8 Was ist schwer an der vollständigen Induktion? 47
5.9 Anwendungen der vollständigen Induktion 47
5.9.1 Geometrie 47
5.9.2 Mengenlehre 49
5.9.3 Binomialkoeffizienten 50
5.9.4 Geometrisches und arithmetisches Mittel 52
5.9.5 Summenformeln 53
5.9.6 Abschätzungen 56
5.9.7 Teilbarkeit 57
5.9.8 Zahlentheorie 58
5.9.9 Rekursiv definierte Folgen 59
5.9.10 Eindeutigkeitsbeweis 60
5.10 Zum Schluss 61
6 Der unendliche Abstieg 63
6.1 Einführung 63
6.2 \/2 ist irrational 64
6.2.1 Das übliche Verfahren 64
6.2.2 \/2 ist irrational mit unendlichem Abstieg 64
6.3 Diskussion der Methode 66
6.3.1 Ist auch y/9 irrational? 66
6.3.2 Ist die Wurzel aus 5 irrational? 67
6.3.3 Die Wurzel einer Nicht-Quadratzahl ist irrational 67
6.4 Inkommensurable Längen im Fünfeck 67
7 Über das Auswahlaxiom 69
7.1 Das Auswahlproblem 69
7.2 Das Auswahlaxiom 70
7.3 Wohlordnung 71
7.4 Lemma von Zorn 72
7.5 Äquivalenz der Aussagen 74
8 Das Kugelwunder 79
8.1 Einleitung 79
8.2 Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern 80
8.3 Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre 85
8.4 Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel 89
8.5 Abschluss 93
II Lineare Algebra 95
9 Lineare Algebra für absolute Anfänger 97
9.1 Einführung 97
Inhaltsverzeichnis xiii
9.2 Vektorräume 98
9.3 Untervektorräume 103
9.4 Lineare Unabhängigkeit 107
9.5 Schluss 109
10 Lineare Gleichungssysteme 111
10.1 Einführung 111
10.2 Lineare Gleichungssysteme: Was ist das? 111
10.2.1 Einführendes Beispiel 111
10.2.2 Definitionen 113
10.2.3 Darstellung mit Matrizen 114
10.3 Lösung linearer Gleichungssysteme 115
10.3.1 Der Gaußsche Algorithmus 115
10.3.2 Beispiel 1: Eindeutige Lösung 119
10.3.3 Beispiel 2: Keine Lösung 122
10.3.4 Beispiel 3: Unendlich viele Lösungen 123
10.4 Rangbestimmung einer Matrix 127
11 Lineare Abbildungen und ihre darstellenden Matrizen 129
11.1 Einführung 129
11.2 Lineare Abbildungen 130
11.3 Bild und Kern einer linearen Abbildung 131
11.4 Dimensionsformel und weitere Eigenschaften 133
11.5 Lineare Abbildung am Beispiel 134
11.6 Darstellungen linearer Abbildungen am Beispiel 135
11.7 Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen 136
11.8 Berechnung einer Darstellungsmatrix am Beispiel 138
11.9 Abbilden mit einer darstellenden Matrix 141
11.10 Beispiel zum Basiswechsel 142
12 Determinanten 145
12.1 Einführung 145
12.2 Determinante: Was ist das? 146
12.3 Spezialfälle 147
12.3.1 Der Fall n = 1 147
12.3.2 Der Fall n = 2 148
12.3.3 Der Fall n = 3 151
12.4 Der allgemeine Fall 154
12.5 Praktische Berechnung von Determinanten 159
12.5.1 Der Gaußsche Algorithmus 159
12.5.2 Die Laplacesche Entwicklungsformel 161
13 Diagonalisier barkeit 163
13.1 Einführung 163
13.2 Diagonalisierbarkeit: Was ist das? 163
13.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 165
13.4 Eigenwerte und Eigenvektoren am Beispiel 169
13.5 Diagonalisierbarkeitskriterien 171
13.6 Eine praktische Anwendung 174
III Analysis 177
14 Die Standardlösungsverfahren für Polynomgleichungen 179
14.1 Lineare Gleichungen 179
14.2 Quadratische Gleichungen 180
14.3 Gleichungen dritten und vierten Grades 182
14.4 Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle 182
14.4.1 n-te Wurzeln 182
14.4.2 Biquadratische Gleichung 183
14.4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen 184
14.4.4 Ein Spezialfall des Wurzelziehens 184
14.4.5 Binom-Gleichungen 185
14.4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern 186
14.4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision 186
14.5 Seltene Lösungsmethoden und Approximationen 188
14.5.1 Methode des Quadrat-Extrems 188
14.5.2 Die Newton-Iteration 188
14.5.3 Regula falsi 190
14.5.4 Das allseits beliebte Raten 191
14.5.5 Das "höhere Raten" 193
14.5.6 Symmetrische Koeffizienten 194
14.6 Abschluss 195
15 Differentialgleichungen 197
15.1 Einführung 197
15.2 Klassifikation vor der Lösung 198
15.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 199
15.3.1 Einfachstes Beispiel 199
15.3.2 Homogene Gleichung 200
15.3.3 Inhomogene Gleichung 200
15.4 Die Probe machen 202
15.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 203
15.5.1 Trennung der Veränderlichen 203
15.5.2 Substitution 205
15.5.3 Bernoulli-Differentialgleichung 207
15.5.4 Riccati-Differentialgleichung 208
15.5.5 Exakte Differentialgleichung 210
15.5.6 Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator) 213
15.5.7 Parametrisierung 215
15.5.8 Clairaut-Differentialgleichung 217
15.5.9 d'Alembert-Differentialgleichung 218
15.6 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 219
15.6.1 Konstante Koeffizienten 219
15.6.2 Eulersche Differentialgleichung 224
16 Die Beziehungen von Sinus und Cosinus 227
16.1 Additionstheoreme 227
16.2 Multiplikationstheoreme 231
16.3 Theoreme zu doppelten und halben Winkeln 233
16.4 Theoreme mit Arcus-Funktionen 235
16.5 Alternative Herleitungen mit komplexen Zahlen 236
16.5.1 Additionstheoreme 236
16.5.2 Weitere Beziehungen 237
17 Doppelintegrale 239
17.1 Einführung 239
17.2 Doppelintegral über einem Rechteck 240
17.3 Doppelintegral über einem allgemeineren Bereich 244
17.4 Eigenschaften und Mittelwertsätze 248
17.5 Koordinatentransformation 250
17.6 Polarkoordinaten 253
18 Kurvenintegrale 257
18.1 Begriffe und Definitionen 257
18.2 Kurvenlänge 258
18.3 Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge 260
18.4 Kurvenintegral über ein Vektorfeld 261
18.5 Eigenschaften der Kurvenintegrale 264
18.6 Kurvenintegrale über Gradientenfeldern 265
19 Oberflächenintegrale 267
19.1 Einführung 267
19.2 Oberflächeninhalt 269
19.3 Oberflächenintegrale einer skalaren Funktion 272
19.4 Flussintegrale 274
20 Eulers Berechnungen der Zetafunktion 279
21 Die Riemannsche Vermutung 283
21.1 Die Riemannsche Zetafunktion 284
21.1.1 Meromorphe Fortsetzung 285
21.1.2 Die Nullstellen 286
21.1.3 Die Vermutung 288
21.2 Die Primzahlfunktion 289
21.2.1 Die Eulersche Produktentwicklung 289
21.2.2 Die Primzahlfunktion 290
21.2.3 Die Jagd auf die Schwelle 293
21.2.4 Die Beweisideen 293
22 Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel. 297
22.1 Vorbereitungen 297
22.2 Kompaktheit in normierten Räumen 299
22.3 Der Satz von Montel 300
22.4 Abschluss 305
23 Geometrie in der Teetasse 307
Literaturverzeichnis 313
Index 317