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Diese neuartig konzipierte Einführung in die Lineare Algebra und Analytische Geometrie für Studierende der Mathematik im ersten Studienjahr ist auf den Bachelorstudiengang Mathematik zugeschnitten. Das Buch ist besonders auch für Studierende des Lehramts gut geeignet. Die Darstellung mit sehr ausführlichen Erläuterungen, vielen anschaulichen Beispielen und Beispielaufgaben, die Schritt für Schritt erklärt und vollständig durchgerechnet werden, sowie zahlreichen sorgfältigen Abbildungen erleichtert das Lernen und geht auf die Verständnisschwierigkeiten der Studienanfänger ein. Es ist ein umfassendes Lern- und Arbeitsbuch und kann auch zum Selbststudium und als Nachschlagewerk benutzt werden.

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

0 Lineare Geometrie im n-dimensionalen reellen Raum 1 / 0.1 Der ft-dimensionale reelle Raum 1 / 0.1.1 Zahlen 1 / 0.1.2 Der Vektorraum Rn 7 / 0.1.3 Multiplikation von Vektoren 11 / 0.2 Geraden 12 / 0.2.1 Ausblick 12 / 0.2.2 Geraden im Rn 12 / 0.2.3 Geraden in der Ebene 16 / 0.3 Abstände und Winkel 20 / 0.3.1 Das Skalarprodukt im R" 20 / 0.3.2 Anwendungen in der Elementargeometrie 22 / 0.3.3 Winkel im Rn 26 / 0.3.4 Senkrechte Vektoren und A bstände 33 / 0.3.5 Die HESSEsche Normalform einer Geradengleichung 35 / 0.3.6 Lineare Unabhängigkeit 38 / 0.3.7 Das Vektorprodukt im R3 41 / 0.3.8 Abstand von Geraden 46 / 0.4 Ebenen 51 / 0.4.1 Ebenen im Rn 51 / 0.4.2 Ebenen im R3 55 / 0.4.3 Abstand eines Punktes von einer Ebene 59 / 0.4.4 Das Spatprodukt 61 / 0.5 Lineare Gleichungssysteme 64 / 0.5.1 Zwei Geraden in der Ebene 64 / 0.5.2 Beschreibung durch Matrizen 66 / 0.5.3 Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform 67 / 0.5.4 Das GAUSSsche Eliminationsverfahren 73 / 0.5.5 Wahl der Pivots und Rundungsfehler 77 // 1 Grundlagen 81 / 1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen 81 / 1.1.1 Mengen und Teilmengen 81 / 1.1.2 Operationen mit Mengen 83 / 1.1.3 Abbildungen 85 / 1.1.4 Abzählbare Mengen* 89 / 1.1.5 Äquivalenzrelationen* 93 / 1.2 Halbgruppen und Gruppen 98 / 1.2.1 Die natürlichen Zahlen * 98 / 1.2.2 Verknüpfungen und Halbgruppen 103 / 1.2.3 Gruppen 105 / 1.2.4 Die ganzen Zahlen als additive Gruppe* 108 / 1.2.5 Untergruppen und Homomorphismen 112 / 1.3 Ringe und Körper 114 / 1.3.1 Die ganzen Zahlen als Ring* 114 / 1.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen 119 / 1.3.3 Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen* 126 / 1.3.4 Konstruktion der reellen Zahlen* 130 / 1.3.5 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche* 138 / 1.3.6 Komplexe Zahlen 143 / 1.3.7 Endliche Körper* 149 / 1.3.8 Rückblick und Ausblick 155 / 1.4 Polynome* 157 / 1.4.1 Polynome und Polynomfunktionen 157 / 1.4.2 Der Ring der Polynome 158 / 1.4.3 Division mit Rest 160 / 1.4.4 Nullstellen von Polynomen 161 / 1.4.5 Eine Vorzeichenregel für reelle Polynome 165 / 1.4.6 Der Fundamentalsatz der Algebra 1672 // 2 Vektorräume und lineare Abbildungen 173 / 2.1 Grundlagen 174 / 2.1.1 Vektorräume 174 / 2.1.2 Untervektorräume 177 / 2.1.3 Operationen mit Untervektorräumen 178 / 2.1.4 Lineare Unabhängigkeit 181 / 2.2 Basis und Dimension 188 / 2.2.1 Erzeugendensysteme und Basen 188 / 2.2.2 Dimension eines Vektorraums 191 / 2.2.3 Charakterisierungen einer Basis 196 / 2.2.4 Praktische Verfahren zur Bestimmung einer Basis 199 / 2.2.5 Summen und direkte Summen 203 / 2.2.6 Der Rang einer Matrix 210 / 2.3 Lineare Abbildungen 216 / 2.3.1 Definitionen und Beispiele 216 / 2.3.2 Elementare Eigenschaften linearer Abbildungen 220 / 2.3.3 Spezielle lineare Abbildungen 223 / 2.3.4 Eine Dimensionsformel für lineare Abbildungen 227 / 2.3.5 Lineare Gleichungssysteme 229 / 2.3.6 Quotientenvektorräume* 234 / 2.4 Lineare Abbildungenund Matrizen 240 / 2.4.1 Erzeugung linearer Abbildungen 240 / 2.4.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung 242 / 2.4.3 Multiplikation von Matrizen 247 / 2.4.4 Rechenregeln für Matrizen 251 / 2.4.5 Die allgemeine lineare Gruppe 255 / 2.4.6 Elementarmatrizen 257 / 2.4.7 Lineare Gleichungssysteme und Elementarmatrizen* 264 / 2.4.8 Die LR-Zerlegung* 265 / 2.4.9 Dualität* 268 / 2.5 Transformationen 271 / 2.5.1 Basistransformationen und Koordinatentransformationen 271 / 2.5.2 Transformationsformel für lineare Abbildungen 274 / 2.5.3 Eine Normalform für darstellende Matrizen 276 // 3 Determinanten 281 / 3.1 Motivation 281 / 3.1.1 Lineare Gleichungssysteme 281 / 3.1.2 Flächeninhalt und Orientierung 282 / 3.2 Berechnung von Determinanten 287 / 3.2.1 Axiome für Determinanten 287 / 3.2.2 Weitere Eigenschaften der Determinante 290 / 3.2.3 Permutationen 298 / 3.2.4 Die alternierende Gruppe 304 / 3.2.5 Existenz und Eindeutigkeit 305 / 3.3 Minoren 311 / 3.3.1 Die komplementäre Matrix 311 / 3.3.2 LAPLACE-Entwicklung 313 / 3.3.3 Die CRAMERsche Regel 3144 // 4 Eigenwerte 315 / 4.1 Grundbegriffe 315 / 4.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 315 / 4.1.2 Endomorphismen des R2 318 / 4.1.3 Differentialgleichungen* 320 / 4.1.4 Das charakteristische Polynom 325 / 4.2 Diagonalisierung und Trigonalisierung 329 / 4.2.1 Diagonalisierbarkeit 329 / 4.2.2 Geometrische und algebraische Vielfachheit 331 / 4.2.3 Rechenverfahren zur Diagonalisierung 335 / 4.2.4 Trigonalisierung* 337 / 4.2.5 Zerlegung in Haupträume* 343 / 4.2.6 Nilpotente Endomorphismen* 349 / 4.2.7 Die JORDANsche Normalform * 356 / 4.2.8 Gedämpfte Schwingungen* 358 // 5 Bilineare Algebra und Geometrie 363 / 5.1 Kegelschnitte* 363 / 5.1.1 Die Gleichungen der ebenen Schnitte eines Kreiskegels 363 / 5.1.2 Geometrische Eigenschaften der Kegelschnitte* 366 / 5.1.3 Kegelschnitte durch vorgegebene Punkte* 370 / 5.1.4 Pol und Polare* 377 / 5.2 Bilinearformen 380 / 5.2.1 Definitionen und beschreibende Matrix 380 / 5.2.2 Transformationsformel für darstellende Matrizen 383 / 5.2.3 Entartung und Rang einer Bilinearform 384 / 5.2.4 Diagonalisierung einer symmetrischen Bilinearform 385 / 5.2.5 Das Trägheitsgesetz von SYLVESTER* 390 / 5.2.6 Exkurs über affine Geometrie* 393 / 5.2.7 Quadriken* 396 / 5.3 Euklidische und unitäre Vektorräum e 409 / 5.3.1 Hermitesche Formen 409 / 5.3.2 Definitheit 410 / 5.3.3 Orthogonalität 418 / 5.3.4 QR-Zerlegung und Methode der kleinsten Quadrate* 424 / 5.3.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 429 / 5.3.6 Die Gruppe SO(3)* 436 / 5.3.7 Selbstadjungierte Endomorphismen 443 / 5.3.8 Die Singulärwert-Zerlegung* 448 / 5.3.9 Hauptachsentransformation von Quadriken* 451 / 5.3.10 Der Trägheitstensor* 461 / 5.3.11 Ausblick 469 // Literaturverzeichnis 471 / Index 473 / Symbolverzeichnis 479