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Das Spannungsfeld zwischen Mathematik und Mechanik bildet eine nie versiegende Quelle neuer Entwicklungen. Das Lehrbuch enthält eine breite Palette klassischer Themen, vom Dreikörperproblem und der Kreiseltheorie über Bifurkationstheorie und Optimierung bis zur Kontinuumsmechanik elastischer Körper und Flüssigkeiten. Mit Matlab-Programmen, die auf der Homepage des Autors zur Verfügung gestellt werden, können Leser Experimente durchführen. Dabei kann jedes Bild oder Diagramm selbst erzeugt und Daten oder Algorithmus nach Belieben abgeändert werden.Professor Eckhart Gekeler lehrte am Fachbereich Mathematik der Universität Stuttgart. (Verlagstext)

 

Aus dem Inhalt:

Kapitel 1. Mathematische Hilfsmittel 1 / 1.1. Zur Matrizenrechnung 1 / Vektor- und Matrixprodukte - Determinanten und Kofaktoren - Eigenwerte und Eigenvektoren - Zerlegungen einer Matrix - Lineare Gleichungssysteme - Projektoren und Reflektoren - Der QR-Algorithmus - Die MoORE-PENROSE-Inverse - Über- und unterbestimmte Systeme - Drehungen im M3 - Matrizen mit definitem Realteil / 1.2. Formeln der Vektoranalysis 17 / Bezeichnungen und Definitionen - Differential-Rechenregeln - Integral-Rechenregeln - Koordinatenunabhängige Definitionen - Potentiale und Vektorfelder / 1.3. Kurven im R3 25 / Krümmung und Torsion - FRENETsche Formeln / 1.4. Lineare Differentialgleichungen 27 / Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten - Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und speziellen rechten Seiten - Die allgemeine Lösung / 1.5. Lineare DifFerentialsysteme erster Ordnung 31 / Autonome homogene Systeme mit diagonalisierbarer Matrix - Autonome homogene Systeme mit nichtdiagonalisierbarer Matrix - Stabilität / - Allgemeine lineare Systeme - Spezielle rechte Seiten - Randwertprobleme - Periodische Lösungen / 1.6. Der Fluss und sein Vektorfeld 38 / Das Flussintegral - Stationäre Vektorfelder - Begradigung von Vektorfeldern - Transformation - Beispiele / 1.7. Vektorräume 44 / Räume stetiger Funktionen - BANACH-Räume - Lineare Abbildungen - Lineare Funktionale und Hyperebenen - Der Dualraum - HILBERT-Räume - SoBOLEV-Räume - Annahme von Randwerten ¿ Eigenschaften von HsQ{il) und Hs{f2) - Äquivalente Normen auf Wg(/?) und Hs(f}) / 1.8. Ableitungen 52 / GATEAUX-Ableitung, FRÉCHET-Ableitung - Eigenschaften - Beispiele / 1.9. Abbildungen in Banach-Räumen 57 / Lineare Operatoren - Projektoren - Implizite Funktionen / 1.10. Konvexe Mengen und Funktionen 61 / Konvexe Mengen und Kegel - Trennungssätze - Kegeleigenschaften - Konvexe Funktionen / 1.11. Quadratische Funktionale 69 / Das Energiefunktional - Operatoren im HlLBERT-Raum ¿ Projektoren im HlLBERT-Raum - Eigenschaften des Energiefunktionais - Die RlTZ-Näherung / / Kapitel 2. Numerische Methoden 77 / 2.1. Interpolation und Approximation 78 / Das allgemeine Interpolationsproblem - Interpolationspolynome - Interpolation nach LAGRANGE - Interpolation nach NEWTON ¿ Interpolation nach HERMITE - Approximation mit BEZIÉR-Polynomen - Interpolationsplines / 2.2. Orthogonale Polynome 88 / Konstruktion - Die Formeln von RODRIGUEZ - Minimaleigenschaft von TscHEBYSCHEFF-Polynomen / 2.3. Numerische Integration 92 / Quadratur nach LAGRANGE - Summierte Quadraturformeln - Quadratur nach GAUSS - baryzentrische Koordinaten im Dreieck - Polynome im Dreieck - Gebietsintegrale - Numerische Quadraturformeln im Dreieck / 2.4. Anfangswertprobleme 103 / Das EULER-Verfahren - Allgemeine Einschrittverfahren - Asymptotische Entwicklung, Extrapolation - RUNGE-KuTTA-Verfahren - Mehrstellenverfahren - Stabilität - Steife Differentialsysteme - Weitere Beispiele - Voll implizite RUNGE-KUTTA-Verfahren / 2.5. Randwertprobleme 126 / Das lineare Problem - Nichtlinearer Fall - Randwertprobleme mit Parameter / 2.6. Periodische Probleme 131 / Probleme mit bekannter Periode - Probleme mit unbekannter Periode / 2.7. Differential-algebraische Probleme 134 / Problemstellung - RUNGE-KUTTA-Verfahren - Reguläre Matrizenpaare - Differentialindex - Semi-explizite RUNGE-KUTTA-Verfahren / 2.8. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 140 / / Kapitel 3. Optimierung 141 / 3.1. Minimierung einer Funktion 142 / Abstiegsverfahren - Negative Beispiele - Konvergenz - Effiziente Wahl der Abstiegsrichtung - NEWTON-Verfahren / 3.2. Extrema mit Nebenbedingungen 147 / Problemstellung - Multiplikatorregel - Regularitätsbedingungen / 3.3. Lineare Optimierung 152 / Beispiele - Problemstellung - Projektionsverfahren - Algorithmus - Degenerierte Ecken - Mehrere Lösungen - Gleichungsrestriktionen - Sensitivität - Duales Problem - Das Tableau - Beispiel / 3.4. Linear-quadratische Probleme 162 / Primales Projektionsverfahren - Der Algorithmus PLQP.M - Duales Projektionsverfahren - Der Algorithmus DLQP.M - Beispiele zum dualen Verfahren / 3.5. Nichtlineare Optimierung 168 / Gradienten-Projektionsverfahren - Typischer Iterationsschritt - Restoration - Strafkostenverfahren - Der Algorithmus SQP.M -Zusätze - Beispiele / 3.6. Abriss der Lagrange-Theorie 175 / Problemstellung - LAGRANGE-Problem - Sattelpunktprobleme - Primale und duale Probleme - Zusammenfassung - Geometrische Deutung - Lokale LAGRANGE-Theorie - Beispiele / 3.7. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 190 / / Kapitel 4. Wackeln mit System 191 / 4.1. Variationsrechnung 192 / Extremalproblem- Variationsproblem und Randwertproblem - Modifizierte Problemstellung - Variabler Endpunkt - LEGENDRE-Transformation - LAGRANGE-Funktion und HAMiLTON-Funktion - Ein klassisches Beispiel / 4.2. Kontrollprobleme ohne Restriktionen 209 / Problemstellung - Freier Planungshorizont - Die freien LAGRANGE-Multiplikatoren - Der Kozustand - Maximumprinzip - Das ¿State Regulator Problem" / 4.3. Kontrollprobleme mit Restriktionen 218 / Problemstellung - Notwendige Bedingungen - Maximumprinzip / 4.4. Beispiele 225 / Numerische Behandlung - Beispiele - Abbildungen / 4.5. Zum Re-Entry Problem 234 / 4.6. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 238 / / Kapitel 5. Der Weg als Ziel 239 / 5.1. Verzweigungsprobleme 241 / FREDHOLM-Operatoren - Problemstellung - LjAPUNOV-SCHMiDT-Reduktion - Bifurkationsgleichung - Weitere Ergebnisse - Beispiele - Symmetrie - Beispiele zur Symmetrie / 5.2. Skalierung 257 / Modifizierte LjAPUNOV-ScHMiDT-Reduktion - Homogene Probleme - Das nichtlineare Eigenwertproblem - Das gestörte Eigenwertproblem - Allgemeine Verzweigungspunkte / 5.3. Berechnung von singulären Punkten 265 / Klassifizierung - Charakterisierung von Wendepunkten ¿ Berechnung von Wendepunkten - Berechnung einfacher Verzweigungspunkte / 5.4. Gewöhnliche Differentialsysteme 270 / Das lineare Randwertproblem - Das adjungierte Randwertproblem - WRONSKI-Matrizen - Nichtlineare Randwertprobleme - Beispiele / 5.5. Hopf-Verzweigung 277 / Problemstellung - Einfache Beispiele - Transformation - Ein Eigenwertproblem - Skalierung - Diskretisierung - Numerische Lösung - Beispiele / 5.6. Numerische Bifurkation 291 / Zwei Algorithmen - Ein klassisches Beispiel / 5.7. Fortsetzung 297 / Problemstellung - Prädiktorschritt - Korrektorschritt - Beispiele / 5.8. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 303 / / Kapitel 6. Massepunkte und starre Körper 305 / 6.1. Die Kraft und ihr Moment 305 / 6.2. Dynamik eines Massepunktes 308 / Bewegungsgleichung - Energie - HAMiLTONsches Prinzip - Systeme mit einem Freiheitsgrad - Starre Drehung / 6.3. Massepunkt im Zentralfeld 315 / Bewegungsgleichung - Gesamtenergie - KEPLER-Problem ¿ Geometrie - Beispiele / 6.4. System von Massepunkten 324 / Bewegungsgleichungen - Potentielle und kinetische Energie - Massepunkte mit Zwangsbedingungen - D'ALEMBERTsches Prinzip - Beispiele / 6.5. Dreikörperproblem 334 / Problemstellung - Zweikörperproblem - Eingeschränktes Dreikörperproblem - Periodische Lösungen / 6.6. Drehendes Bezugssystem 339 / Drehung einer Körpers - Zwei Drehungen - Bewegung im drehenden System - CORiOLis-Kraft - Beispiel / 6.7. Trägheitstensor und Kreisel 344 / Trägheitstensor - Starrer Körper mit ruhendem Punkt - Rotoren ¿ Der kräftefreie Kreisel - Der kräftefreie symmetrische Kreisel - Der geführte symmetrische Kreisel - Kinematische EULER-Gleichungen - Der schwere symmetrische Kreisel - Energie des schweren Kreisels - Kreiselbewegungen - Beispiele / 6.8. Zur Behandlung von Mehrkörperproblemen 356 / 6.9. Über Prinzipien der Mechanik 359 / Energieprinzip - Extremalprinzip - D'ALEMBERT und LAGRANGE - / HAMiLTONsches Prinzip - jACOBisches Prinzip / 6.10. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 364 / / Kapitel 7. Stäbe und Balken 365 / 7.1. Balkenbiegung 365 / Zugstab - Balkenbiegung - Gesamtenergie - Variationsproblem und Randwertproblem - Momentengleichung - Weitere Randbedingungen - Existenz der Lösung / 7.2. Eigenwertprobleme 373 / Verallgemeinertes Eigenwertproblem - Knicklasten / 7.3. Numerische Behandlung 378 / Zugstab - Biegebalken - Beispiele / 7.4. Stabwerke 381 / Zugstab in allgemeiner Lage - ebene und räumliche Stabwerke - Lagerbedingungen - Lagerkräfte - Beispiele / 7.5. Balkenwerke 387 / Torsion - Gesamtenergie - Balken mit Biegung und Torsion in fast allgemeiner Lage - Numerische Approximation / 7.6. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 392 / / Kapitel 8. Kontinuumstheorie 393 / 8.1. Deformationen 393 / Deformation - Ableitung des Gradienten - Materialableitung (substantielle Ableitung) - PlOLA-Transformation - Zurückholen des Divergenzsatzes / 8.2. Die drei Transporttheoreme 400 / 8.3. Die Erhaltungssätze 402 / Massen-, Impuls-, Drehimpuls-, Energieerhaltungssatz - Erhaltungssätze in Differentialform - Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik / 8.4. Materialformen 409 / Erhaltungssätze - Variationsproblem - Extremalproblem - HAMIL- / TONsches Prinzip / 8.5. Lineare Elastizitätstheorie 415 / Verzerrungstensor und Spannungstensor - Extremalproblem und Variationsproblem - Randwertproblem - ST.VENANT-KiRCHHOFF-Material / 8.6. Scheiben 420 / Ebener Spannungszustand - Ebener Verzerrungszustand / 8.7. Die Kirchhoff-Platte 422 / Extremalproblem und Variationsproblem - Umwandlung - Randwertproblem - BABUSKA-Paradoxon - Beispiel / 8.8. Stark gebogene Platten und Membran 428 / Verzerrungsenergie - AiRYsche Spannungsfunktion - VON KARMANsche Gleichungen - Membran / 8.9. Über Flüssigkeiten und Gase 431 / Erhaltungssätze - Bezeichnungen - Erhaltungsgleichungen für zähe Fluide - Homogene inkompressible Fluide / 8.10. Navier-Stokes-Gleichungen 435 / Geschwindigkeits-Druck-Form - Randwertproblem ¿ Dimensionsloses System - Stromfunktion-Wirbel-Form - Zusammenhang mit der Plattengleichung - Berechnung des Drucks / / Kapitel 9. Finite Elemente 447 / 9.1. Elliptische Randwertprobleme 447 / Extremalproblem - Schwache Form - Randwertproblem - Lösbarkeit / 9.2. Von der Formel zum Bild 451 / Problemstellung - Approximation - lineare Dreieckselemente - Implementierung von DiRiCHLET-Randbedingungen - Implementierung von / CAUCHY-Randbedingungen - Beispiel / 9.3. Konstruktion von Finiten Elementen 457 / Problemstellung - Formfunktionen - Reduktion auf das Einheitsdreieck - Baryzentrische Koordinaten / 9.4. Weitere Konstruktionelemente 464 / HERMlTEsche Elemente - Vorgabe von Normalableitungen ¿ Das ARGYRis-Element - Ein Dreieckelement mit gebogenem Rand ¿ Finite Elemente für Scheiben - Zum Patch-Test - Ein kubisches Dreieckelement für Platten / 9.5. Singuläre Elemente 480 / 9.6. Navier-Stokes-GIeichungen 485 / Geschwindigkeits-Druck-Form - TAYLOR-HOOD-Element - Approximation instationärer Probleme / 9.7. Vermischte Anwendungen 491 / Wärmeleitung - Konvektionsströmungen - Massentransport - Flachwasserprobleme / 9.8. Beispiele 498 / Navier-Stokes-Probleme - Konvektionprobleme ¿ Flachwasserprobleme - Scheiben und Platten / 9.9. Hinweise zu den MATLAB®-Programmen 507 / / Kapitel 10. Abriss der Tensorrechnung 511 / 10.1. Tensoralgebra 511 / Basis- und Komponententransformation - Skalarprodukträume - Identifizierung von V und Vd - Allgemeine Tensoren - Darstellung und Transformation von Tensoren - Tensorprodukt - Der Vektorraum der Tensoren - Transformation von allgemeinen Tensoren - Verjüngung (Kontraktion) - Skalarprodukt von Tensoren - Herauf- und Herunterziehen von Indizes - Beispiele / 10.2. Algebra alternierender Tensoren 529 / Alternierende Tensoren - Alternierender Anteil von Tensoren ¿ Äußeres Produkt von Tensoren - Basis - Darstellung alternierender Tensoren - Basistransformation - Skalarprodukt alternierender Tensoren / 10.3. Differentialformen im Rn 535 / Der abstrakte Tangentialraum und PFAFFsche Formen - Differentialformen - Äußere Ableitung - Geschlossene und exakte Formen - HODGE-Stern-Operator und Integralsätze - Abbildungen - ¿Pull back" und ¿Push forward" / 10.4. Tensoranalysis 547 / EUKLlDische Mannigfaltigkeiten - Natürliche Koordinatensysteme - Darstellung und Transformation - CHRISTOFFEL-Symbole ¿ Divergenz eines Skalarfeldes - Gradienten eines Tensors - Divergenz eines Tensorfeldes - Rotation eines Vektorfeldes / 10.5. Beispiele 561 / Orthogonale natürliche Koordinatensysteme - Divergenz und Rotation / 10.6. Transformationsgruppen 566 / Bezeichnungen und Definitionen - Beispiele - Einparametrige Transformationsgruppen - Die Erzeugende einer Gruppe / / Kapitel 11. Fallstudien 573 / 11.1. Ein Beispiel aus der Gasdynamik 573 / 11.2. Die Reissner-Mindlin-Platte 575 / 11.3. Beispiele zu Mehrkörperproblemen 577 / Doppelpendel - Siebenkörperproblem (ANDREW'S Squeezer) ¿ Roboter nach SCHIEHLEN / 11.4. Tanzende Scheiben 580 / Allgemeine Scheiben - Zahnräder mit Nullverzahnung / 11.5. Beulung einer kreisförmigen Platte 586 / / Kapitel 12. Anhang 589 / 12.1. Bezeichnungen und Tabellen 589 / Zeittafel - Bezeichnungen - Maßeinheiten und physikalische Konstanten - Formfunktionen für den vollständigen kubischen Ansatz / 12.2. Matrizen-Zoo 593 / 12.3. Translation und Drehung 594 / 12.4. Trigonometrische Interpolation 596 / 12.5. Über einige Funktionenräume 602 / Mengen vom Maß Null - Funktionen mit beschränkter Schwankung - Der Dualraum des C[a, b] - Beispiele / 12.6. Zykloiden 605 / 12.7. Quaternionen und Drehungen 608 / Komplexe Zahlen - Quaternionen - Zusammengesetzte Drehungen / / Literaturverzeichnis 611 / Sachverzeichnis 621