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Diese Geschichte der Mathematik beschreibt die Irrungen und Wirrungen, die auch die logischste aller Wissenschaften benötigte, um sich weiter zu entwickeln. Der Aufbau des Bandes ist weniger personenbezogen als vielmehr an der Entwicklung elementarer mathematischer Begriffe wie Raum, Figur, Zahl, Gleichung, Grenzwert und Funktion orientiert, deren Geschichte dargestellt wird - von den Anfängen im vorchristlichen Babylon bis zum Beginn unseres Jahrhunderts. In einem einleitenden Kapitel stellen die Autorinnen, zwei renommierte Mathematikhistorikerinnen, den Werdegang der Mathematik in den Kontext kulturhistorischer Abläufe. Es folgen Kapitel über Griechenland und die Entstehung der deduktiven Mathematik, die Entwicklung der Geometrie und die Rolle der arabischen Mathematiker bei ihrer Überlieferung, die Wurzeln der Infinitesimalrechnung und über Analysis.Ein eigenes Kapitel wird ferner den komplexen Zahlen und schließlich auch der Mathematik von Gauß und dem Beginn der modernen Zahlentheorie gewidmet.Technische Aspekte und Definitionen sind in separate Kästen gefaßt, darüber hinaus erleichtern Kurzbiografien, Index und Literaturverzeichnisse dem Leser die Benutzung./ AUS DEM INHALT: / / / Vorwort IX Vorwort zur deutschen Ausgabe X I. Die Mathematik im Zusammenhang der kulturhistorischen Entwicklung 1 1) Die ältesten Kulturen: Mesopotamien und Ägypten 1 2) Griechenland 7 3) Die arabische Kultur des frühen Mittelalters 11 4) Das frühe Mittelalter im christlichen Abendland 16 5) Die ersten Einflüsse der arabischen Mathematik 17 6) Die Allmacht der Kirche 18 7) Die großen Übersetzungen des 12. Jahrhunderts 19 8) Leonardo von Pisa (um 1170 - nach 1240) 20 9) Das Zeitalter der Scholastik 21 10) Das 15. Jahrhundert und die neuen Ziele der Wissenschaft 24 11) Die Ausbreitung der neuen Ideen: Die Erfindung des Buchdrucks im 15. Jahrhundert 25 12) Fortschritte in Arithmetik und Algebra 26 13) Die Reform der Astronomie: Nikolaus Kopernikus (1473 1543) 27 14) Die Keplerschen Gesetze und Galileo Galilei 28 15) Die Mathematisierung der Wissenschaft im 17. Jahrhundert 29 16) Das wissenschaftliche Leben im 17. Jahrhundert: Einrichtung und Rolle der Akademien der Wissenschaften 30 17) Das mathematische 18. Jahrhundert 31 18) Die Vorherrschaft der französischen Mathematik während der Revolution 33 19) Die neuen Bedingungen der mathematischen Arbeit im 19. Jahrhundert 34 II. Ein Moment der Rationalität: Griechenland 37 1) Die Entstehung des abstrakten Denkens bei den milesischen Naturphilosophen 37 2) Die ionische Mathematik: Thaies 39 3) Die Arithmetik der pythagoräischen Schule 40 4) Die Reaktion: Die Eleaten 44 5) Die Sophisten 44 6) Die Akademie Piatons 45 7) Aristoteles und das Lyzeum 48 8) Die Elemente des Euklid 49 9) Apollonios und die Kegelschnitte 58 10) Die Schule von Alexandria 62 III. Die Entstehung der klassischen Algebra 67 1) Lineare und quadratische Gleichungen in den frühen Kulturen 67 2) Die geometrische Algebra bei Euklid 71 3) Die Arithmetik des Diophant 72 4) Die arabische Mathematik 79 5) Al-Hwarizml und die Geburt des al-gabr 80 6) Abu Kamil: der erste Schüler 82 7) Die algebraisch-arithmetische Schule des al-Karagi 84 8) Die algebraisch-geometrische Schule und die Lösung der kubischen Gleichung 89 9) Numerische Lösungen und Approximationsverfahren von at-Tusi bis zu al-Kasi 93 10) Der Zahlbegriff 98 11) Die deutsche Coß 101 12) Die italienischen Renaissancealgebraiker 103 13) Der algebraische Symbolismus 107 14) Die Emanzipation der Algebra gegenüber der Geometrie 109 15) Fermat und die Wiedergeburt der Zahlentheorie 110 16) Die algebraische Auflösung von Gleichungen: Leerlauf und Fortschritte 113 17) Abel: Die Gleichung fünften Grades 118 Anhang zu Kapitel III: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 119 IV. Figuren, Räume und Geometrien 121 1) Anfänge in der Praxis 121 2) Beweisende Geometrie in Griechenland 123 3) Die Beiträge der Araber 126 4) Die Perspektive und die Entstehung der projektiven Geometrie 129 5) Die analytische Geometrie und das Studium von Kurven im 18. Jahrhundert 137 6) Die darstellende Geometrie: Gaspard Monge 139 7) Der Traite von Poncelet: Synthese und Manifest der projektiven Geometrie 141 8) Geometrische Transformationen 148 9) Die projektiven Koordinaten des Christian von Staudt 151 10) Analytische Formulierungen 153 11) Die nichteuklidischen Geometrien 155 12) Projektive Interpretation der metrischen Begriffe 164 13) Die projektive Natur der euklidischen Geometrie 165 14) Die Synthese: Das Erlanger Programm 168 15) Gesprengter Rahmen 172 V. Der Grenzwert: Vom Undenkbaren zum Begriff 175 1) Zahlen und geometrische Größen 175 2) Die Auffassung des Unendlichen in der griechischen Mathematik: Die Paradoxien des Zenon 175 3) Die Exhaustionsmethode: Negation des Unendlichen 177 4) Wiederaufnahme durch die Araber 182 5) Das Mittelalter 184 6) Die Befreiung: Stevin und Valerio 185 7) Die infinitesimalen Betrachtungen bei J. Kepler 185 8) Die Indivisibelnmethode 186 9) Die Entfaltung der infinitesimalen Methoden im 17. Jahrhundert 189 10) Die Entstehung der Infinitesimalrechnung 201 11) Flucht nach vorne 211 12) Grundlegungsversuche 212 13) Die Klärung der Grundbegriffe 218 14) Eine erste Integrationstheorie 219 15) Die Weierstraßsche Strenge 221 16) Die Konstruktion der reellen Zahlen 221 VI. Der Funktionsbegriff und die Entwicklung der Analysis 227 1) Das Zeitalter der Antike 227 2) Die Schulen von Oxford und Paris 228 3) Vom Studium der Bewegungen zur Untersuchung der Bewegungsbahnen 230 4) Das Beispiel der Logarithmusfunktion 231 5) Descartes: geometrische Kurven und algebraische Funktionen 234 6) Die unendlichen Algorithmen 235 7) Ein neuer mathematischer Gegenstand: das Gesetz der Veränderung 236 8) Die algebraische Analysis des 18. Jahrhunderts 238 9) Das Phänomen der mehrwertigen Funktionen 239 10) Die Introductio in analysin infinitorum von Euler 241 11) Die Gleichung der schwingenden Saite 244 12) Die Funktion als zentraler Gegenstand der Analysis 245 13) Das Ringen um die Grundbegriffe 247 14) Die Entwicklung von Funktionen in trigonometrische Reihen 248 15) Der Begriff der willkürlichen Funktion und seine Folgen 253 16) Die Reihendarstellung stetiger Funktionen und die gleichmäßige Konvergenz 254 17) Die Funktionentheorie 254 18) Die Anfänge der Mengenlehre und der allgemeinen Topologie 260 19) Die unstetigen Funktionen. Kontroversen um den Funktionsbegriff 265 20) Der maßtheoretische Gesichtspunkt 267 VII. Im Schnittpunkt von Algebra, Analysis und Geometrie - die komplexen Zahlen 271 1) Der Fundamentalsatz der Algebra 271 2) Wie man mit dem Symbol A/~T im 17. und 18. Jahrhundert umging 276 3) Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen 277 4) Geometrischer Realismus versus algebraisch-symbolischer Formalismus 279 5) Der wirkliche Begründer der komplexen Zahlen 281 6) Die arithmetische Sichtweise Hamiltons 282 7) Die Kongruenzen und der algebraische Standpunkt Cauchys 285 VIII. Neue Objekte, neue Gesetze und die Entstehung der algebraischen Strukturen 287 1) Die Disquisitiones arithmeticae von Gauß 287 2) Permutationsgruppen und Galois-Theorie 295 3) Die englische Algebraikerschule 305 4) Lineare Strukturen 308 5) Die Entstehung der Gruppentheorie 315 6) Die deutsche Schule und die Anfänge der kommutativen Algebra 318 7) Das neue Gesicht der Mathematik 324 Anhang Bibliographie 329 Abbildungsnachweis 335 Personenverzeichnis mit Kurzbiographien 336 Sachverzeichnis mit Glossar 348