In der Mathematik werden viele Studienanfänger mit Methoden und Denkweisen konfrontiert, auf die sie in der Schule nicht vorbereitet wurden. Dieses Buch bietet Schulabgängern unterschiedlicher Qualifikation einen leichteren Einstieg ins Studium.
Zunächst stellt das vorliegende Werk die nötigen Hilfsmittel bereit: Axiomatik, Logik und Mengenlehre. Die dabei erlernten Beweistechniken werden dann eingesetzt, um die aus der Schule bekannten Themen neu zu präsentieren. Schwerpunkte sind Zahlensysteme, algebraische Techniken, Folgen und Grenzwerte, Funktionen, Geometrie und Vektorrechnung, Differentiation, Integration und komplexe Zahlen.
Der Autor legt – bei aller mathematischen Strenge – Wert auf Verständlichkeit. Zur Vertiefung werden über 200 Aufgaben angeboten. Die lockere, mit Beispielen, historischen Einschüben und Anekdoten bereicherte Darstellung macht aus trockener Mathematik eine unterhaltsame Lektüre. Durch die exakte und manchmal auch bewusst abstrakte Präsentation vertrauter und neuer Inhalte wird ein ehrliches Bild von der mathematischen Wissenschaft vermittelt, kleine Abstecher in weiterführende Themen erzeugen Spannung. So gelingt es dem Autor zu zeigen, dass Mathematik Spaß machen kann!
Für die fünfte Auflage wurde der Text vollständig überarbeitet und didaktisch weiter optimiert. Ein neues Element „Klartext“ hilft beim Verständnis besonders schwieriger Passagen.
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Vorwort zur 5. Auflage
Inhaltsverzeichnis
1 Wie wahr ist die Mathematik?
Mathematik im Alltag o Von Thales bis Euklid o Axiomensysteme o Sätze
und Beweise in der Geometrie o Aussagenlogik o Prädikatenlogik und Tautologien
o Beweismethoden o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
2 Von Mengen und Unmengen
Der Mengenbegriff o Probleme der Mengenbildung o Mengen- Algebra o
Die Arbeit mit Quantaren o Verneinungsregeln o Zugabe für ambitionierte
Leser o Aufgaben
3 Unendlich viele Zahlen
Die Axiome der Addition o Die Axiome der Multiplikation o Die Axiome
der Anordnung o Natürliche Zahlen o Das Induktionsprinzip o Ganze
Zahlen o Endliche Mengen o Teilbarkeit und Primzahlen o Euklidischer
Algorithmus o Große Zahlen o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
4 Auf dem Weg ins Irrationale
Das Summenzeichen o Elementare Kombinatorik o Geometrische Folgen o
Das Vollständigkeitsaxiom o Der Betrag einer reellen Zahl o Quadratische
Gleichungen und Ungleichungen o Wurzeln o Folgen o Grenzwertsätze o
Geometrische Reihen o Monotone Konvergenz o Intervallschachtelungen o
Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
5 Eins hängt vom andern ab
Produktmengen und Relationen o Der Funktionsbegriff o Mengen von
Funktionen o Polynome o Injektive und surjektive Abbildungen o Mächtigkeit
o Verknüpfung von Abbildungen o Umkehrabbildungen und Monotonie
o Logarithmen o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
6 Die Parallelität der Ereignisse
Der Begriff des Lineals o Projektionen o Koordinaten für die Ebene o Lineare
Gleichungssysteme o Lineale und Projektionen im Modell o Haibebeneu
und Dreiecke o Orthogonalität o Der Satz des Pythagoras o Flächenfunktionen
o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
7 Allerlei Winkelzüge
Kreis und Bogenmaß o Winkel in Dreiecken o Winkelfunktionen o Die
Additionstheoreme o Bewegungen o Aufgaben
8 Das Parallelogramm der Kräfte
Vektoren o Vektorräume o Lineare Unabhängigkeit o Ortsvektoren, Geraden
und Ebenen o Norm und Skalarprodukt o Die Hesse'sche Normalform
o Matrizen und Determinanten o Das Gaußverfahren o Das Vektorprodukt
o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
9 Extremfälle
Stetigkeit o Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen o Stetigkeitsbeweise
o Die Ableitung o Ableitungsregeln o Extremwerte o Der Mittelwertsatz
o Wendepunkte und Krümmung o Zugabe für ambitionierte Leser o
Aufgaben
10 Die Kunst des Integrierens
Das Riemann'sche Integral o Berechnung von Integralen o Der Fundamentalsatz
o Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion o Partielle Integration
und Substitution o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
11 Imaginäre Welten
Kubische Gleichungen o Komplexe Zahlen o Komplexe Folgen und F\mktionen
o Die Euler'sche Formel o Einheitswurzeln o Der Fundamentalsatz
der Algebra o Quaternionen o Zugabe für ambitionierte Leser o Aufgaben
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Stichwortverzeichnis