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Gegen Angst vor Mathematik hilft Verstehen. Dieses Buch setzt nur elementare Schulkenntnisse voraus und führt schrittweise und systematisch von der Bruchrechnung bis zu erstaunlichen Sätzen der Höheren Mathematik. Ausgehend von Problemstellungen aus Elektrotechnik und Maschinenbau werden Differenzial- und Integralrechnung, Vektorrechnung, Differenzialgleichungen, Fourier-Reihen, Integraltransformationen sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik behandelt.Neben vielen Anwendungsbeispielen aus den Ingenieurwissenschaften finden Sie zu jedem Kapitel zahlreiche Aufgaben (mit Lösungen auf der Website) zum Selbstrechnen.In der dritten Auflage wurde unter Berücksichtigung von Leserwünschen der Stoffumfang erheblich erweitert, didaktisch überarbeitet und durch weitere anschauliche Beispiele ergänzt.Aus dem Inhalt:Vorwort V // 1 Grundlagen 1 / 1.1 Mengenlehre 1 / 1.1.1 Mengenbegriff 2 / 1.1.2 Mengenoperationen 4 / 1.1.3 Abbildungen 7 / 1.2 Logik 12 / 1.2.1 Aussagenlogik 12 / 1.2.2 Prädikatenlogik 18 / 1.2.3 Beweise 23 / 1.3 Reelle Zahlen 25 / 1.3.1 Natürliche und ganze Zahlen 25 / 1.3.2 Rationale Zahlen 34 / 1.3.3 Reelle Z ahlen 44 / 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen 55 / 1.4.1 Potenzen und Wurzeln 55 / 1.4.2 Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz 57 / 1.4.3 Beträge und Ungleichungen 65 / 1.4.4 Über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 71 / 1.5 Reelle Funktionen 77 / 1.5.1 Notation reeller Funktionen 77 / 1.5.2 Eigenschaften von reellen Funktionen 80 / 1.5.3 Umkehrfunktion 85 / 1.5.4 Verkettung von Funktionen 87 / 1.5.5 Signum- und Betragsfunktion 89 / 1.5.6 Polynome und gebrochen-rationaleFunktionen 90 / 1.5.7 Potenz- und Wurzelfunktionen 101 / 1.5.8 Exponentialfunktionen und Logarithm en 102 / 1.5.9 Trigonometrische Funktionen 112 / 1.5.10 Hyperbel- und Areafunktionen 128 / 1.6 Komplexe Zahlen 131 / 1.6.1 Erweiterung der reellen Zahlen umeine imaginäre Einheit 132 / 1.6.2 Komplexe Arithm etik 133 / 1.6.3 Die Gauß¿sche Zahlenebene 135 / 1.6.4 Euler¿sehe Gleichung und Polarformkomplexer Z ahlen 138 / 1.6.5 Komplexe Wechselstromrechnung * 144 / 1.6.6 Fundamentalsatz der Algebra 147 / 1.7 Lineare Gleichungssysteme und M atrizen 152 / 1.7.1 Lineare Gleichungssysteme 152 / 1.7.2 Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren 154 / 1.7.3 Lösen linearer Gleichungssysteme 161 / 1.7.4 Inverse Matrix und transponierte Matrix 168 / 1.7.5 Symmetrische und orthogonale Matrizen 173 / 1.7.6 Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung * 176 / 1.8 Determinanten 181 / 1.8.1 Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten 182 / 1.8.2 Determinanten und lineare Gleichungssysteme 193 / 1.9 Aufgaben 199 // 2 Differenzial- und Integralrechnung 211 / 2.1 Folgen 211 / 2.1.1 Definition und Grundbegriffe von Folgen 212 / 2.1.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen 216 / 2.1.3 Rechnen mit konvergenten Folgen 220 / 2.1.4 Konvergenzkriterien 223 / 2.1.5 Die Euler¿sche Zahl e als Grenzwert von Folgen 226 / 2.1.6 Approximation reeller Potenzen 228 / 2.1.7 Bestimmte Divergenz 229 / 2.1.8 Häufungspunkte einer Folge * 232 / 2.1.9 Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen * 232 / 2.2 Zahlen-Reihen 236 / 2.2.1 Definition und Konvergenz einer Reihe 237 / 2.2.2 Rechnen mit konvergenten Reihen 240 / 2.2.3 Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz 241 / 2.2.4 Absolute Konvergenz 243 / 2.2.5 Konvergenzkriterien für Reihen 245 / 2.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 255 / 2.3.1 Umgebungen und Überdeckungen 255 / 2.3.2 Grenzwerte von Funktionen 257 / 2.3.3 Stetigkeit 270 / 2.3.4 Eigenschaften stetiger Funktionen 278 / 2.3.5 Unstetigkeitsstellen 285 / 2.4 Differenzierbarkeit und Ableitungen 288 / 2.4.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 289 / 2.4.2 Ableitungsregeln 295 / 2.4.3 Newton-Verfahren 305 / 2.4.4 Das Differenzial 307 / 2.4.5 Höhere Ableitungen 310 / 2.5 Zentrale Sätze der Differenzialrechnung 314 / 2.5.1 Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema 314 / 2.5.2 Mittelwertsätze der Differenzialrechnung 315 / 2.5.3 Regeln von L¿Hospital 322 / 2.6 Integralrechnung 328 / 2.6.1 Definition des Integrals 329 / 2.6.2 Eigenschaften des Integrals 334 / 2.6.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 339 / 2.6.4 Rechenregeln zur Integration 343 / 2.6.5 Numerische Integration 359 / 2.6.6 Uneigentliche Integrale 362 / 2.6.7 Volumen und Flächen 369 / 2.6.8 Lebesgue-Integral * 373 / 2.7 Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme 382 / 2.7.1 Taylor- Summen 382 / 2.7.2 Kurvendiskussion und Extremalprobleme 387 / 2.8 Potenzreihen 398 / 2.8.1 Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen 398 / 2.8.2 Einschub: Funktionenfolgen * 402 / 2.8.3 Konvergenz von Potenzreihen 411 / 2.8.4 Differenziation und Integration von Potenzreihen 415 / 2.8.5 Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen 417 / 2.8.6 Die komplexe Exponentialfunktion 418 / 2.9 Aufgaben 420 // 3 Lineare Algebra 427 / 3.1 Vektoren in der Ebene und im Raum 427 / 3.1.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln 427 / 3.1.2 Skalarprodukt und Orthogonalität 435 / 3.1.3 Vektorprodukt und Spatprodukt 442 / 3.1.4 Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts 450 / 3.2 Analytische Geometrie 452 / 3.2.1 Geraden in der Ebene und im Raum 453 / 3.2.2 Ebenen im Raum 460 / 3.3 Vektorräume 466 / 3.3.1 Definition des Vektorraums 467 / 3.3.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension 474 / 3.3.3 Skalarprodukt und Norm 483 / 3.3.4 Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme 488 / 3.4 Lineare Abbildungen 500 / 3.4.1 Lineare Abbildungen und Matrizen 500 / 3.4.2 Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen 506 / 3.4.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz 508 / 3.4.4 Umkehrabbildung und inverse Matrix 515 / 3.4.5 Koordinaten- und Basistransformationen * 517 / 3.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 521 / 3.5.1 Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems 523 / 3.5.2 Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken * 529 / 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 537 / 3.6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 538 / 3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen * 548 / 3.6.3 Hauptvektoren und Jordan-Normalform * 552 / 3.7 Normierte Vektorräume: Lineare Algebra trifft Analysis * 557 / 3.7.1 Norm 557 / 3.7.2 Banach- und Hilbert-Räume 560 / 3.7.3 Lp-Räume 562 / 3.7.4 Stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen 566 / 3.7.5 Einige zentrale Sätze der Funktionalanalysis 577 / 3.7.6 Sobolev-Räume 584 / 3.8 A ufgaben 585 // 4 Funktionen mit m ehreren V ariablen 589 / 4.1 Grenzwerte und Stetigkeit 592 / 4.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen 597 / 4.2.1 Ableitungsbegriffe 597 / 4.2.2 Implizite Differenziation und implizite Funktion 609 / 4.2.3 Höhere Ableitungen 610 / 4.2.4 Fehlerrechnung* 614 / 4.3 Extremwertrechnung 617 / 4.3.1 Lokale und globale Extrema 618 / 4.3.2 Extrema unter Nebenbedingungen * 631 / 4.3.3 Lineare Optimierung * 638 / 4.4 Integralrechnung mit mehreren Variablen 649 / 4.4.1 Integration über mehrdimensionale Intervalle 649 / 4.4.2 Integration über Normalbereiche 657 / 4.4.3 Substitutionsregel 661 / 4.4.4 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten 663 / 4.4.5 Lebesgue-Integral, Lp- und Sobolev-Räume * 668 / 4.5 Vektoranalysis 672 / 4.5.1 Vektorfelder 673 / 4.5.2 Kurven 674 / 4.5.3 Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern 678 / 4.5.4 Kurvenintegrale 680 / 4.5.5 Satz von Green * 688 / 4.5.6 Flächenintegrale * 690 / 4.5.7 Die Sätze von Gauß und Stokes * 694 / 4.6 Aufgaben 701 // 5 Gew öhnliche Differenzialgleichungen 705 / 5.1 Einführung 705 / 5.1.1 Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik 706 / 5.1.2 Grundbegriffe 710 / 5.1.3 Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit 715 / 5.1.4 Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf 718 / 5.1.5 Runge-Kutta-Verfahren 719 / 5.2 Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung 721 / 5.2.1 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 722 / 5.2.2 Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 735 / 5.3 Lineare Differenzialgleichungssysteme 748 / 5.3.1 Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten 748 / 5.3.2 Grundbegriffe 749 / 5.3.3 Homogene Lösungen 753 / 5.3.4 Partikuläre Lösungen 757 / 5.3.5 Komplexe und mehrfache Eigenwerte * 762 / 5.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 770 / 5.4.1 Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem 770 / 5.4.2 Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite 777 / 5.4.3 Schwingungsgleichung* 782 / 5.5 Ausblick: Partielle Differenzialgleichungen und Finite-Elemente-Methode * 788 / 5.5.1 Eine schwingende Saite: Wellengleichung 788 / 5.5.2 Partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 790 / 5.5.3 Finite-Elemente-Methode 792 / 5.5.4 Beispiel für die Finite-Elemente-Methode in 2-D 799 / 5.6 Aufgaben 809 // 6 Fourier-R eihen und Integraltransformationen 813 / 6.1 Fourier-Reihen 814 / 6.1.1 Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe 815 / 6.1.2 Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe 821 / 6.1.3 Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten 823 / 6.1.4 Faltung 832 / 6.1.5 Konvergenz von Fourier-Reihen * 840 / 6.1.6 Gibbs-Phänomen 853 / 6.1.7 Entwicklung 2p-periodischer Funktionen 859 / 6.2 Fourier-Transformation 861 / 6.2.1 Fourier-Integral 861 / 6.2.2 Fourier-Umkehrtransformation 865 / 6.2.3 Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation 867 / 6.2.4 Eigenschaften der Fourier-Transformation 869 / 6.2.5 Faltung 874 / 6.3 Laplace-Transformation 878 / 6.3.1 Von der Fourier-zur Laplace-Transformation 878 / 6.3.2 Rechnen mit der Laplace-Transformation 882 / 6.3.3 Laplace-Transformation in der Systemtheorie * 894 / 6.4 Diskrete Fourier-Transformation 903 / 6.4.1 Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe 905 / 6.4.2 Diskrete Fourier-Transformation 908 / 6.4.3 Diskrete Faltung * 919 / 6.4.4 FFT-Algorithmus 923 / 6.4.5 Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten 928 / 6.4.6 Abtastsatz für trigonometrische Polynome 930 / 6.4.7 Abtastung 2p-periodischer Funktionen und Leck-Effekt (Leakage) * 937 / 6.4.8 Numerische Berechnung der Fourier-Transformation 939 / 6.4.9 Abtastsatz der Fourier-Transformation 941 / 6.4.10 Leck-Effekt und Fensterfunktionen * 950 / 6.4.11 Zusammenfassung 954 / 6.5 Wavelets und schnelle Wavelet-Transformation * 954 / 6.5.1 Idee der Wavelet-Transformation 955 / 6.5.2 Eindimensionale Wavelet-Transformation mit orthogonalen Wavelets959 / 6.5.3 Zweidimensionale diskrete Wavelet-Transformation 963 / 6.6 Aufgaben 965 // 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 969 / 7.1 Beschreibende Statistik 970 / 7.1.1 Grundbegriffe 970 / 7.1.2 Empirische Verteilungsfunktionen 975 / 7.1.3 Lageparameter 977 / 7.1.4 Streuungsparameter 982 / 7.1.5 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation 984 / 7.1.6 Kovarianzmatrix 988 / 7.1.7 Lineare Regressionsrechnung 992 / 7.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 997 / 7.2.1 Zufallsexperimente und Ereignisse 997 / 7.2.2 Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace 999 / 7.2.3 Kombinatorik 1003 / 7.2.4 Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten 1008 / 7.2.5 Zufallsvariablen 1018 / 7.2.6 Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen 1032 / 7.2.7 Gesetz der großen Zahlen 1042 / 7.2.8 Zentraler Grenzwertsatz 1047 / 7.2.9 Integrale über Zufallsvariablen * 1054 / 7.3 Schließende Statistik 1056 / 7.3.1 Punktschätzungen 1057 / 7.3.2 Begriffe der Fehlerrechnung * 1061 / 7.3.3 Intervallschätzungen 1063 / 7.3.4 Hypothesentests 1071 / 7.4 Aufgaben 1076 // Literaturverzeichnis 1083 / Index 1087