Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verknüpft und für die Verwendung in Bachelorstudiengängen und modularisierten Lehramtsstudiengängen konzipiert ist. Es führt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der für Nichtspezialisten das nötige Handwerkszeug für die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Beschäftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und für diese eine gute Ausgangsbasis bildet.
Für die dritte Auflage wurden neben einer allgemeinen Überarbeitung und Fehlerkorrektur zahlreiche Beispiele und Aufgaben neu hinzugefügt. Ferner wird in einem neuen ergänzenden Abschnitt der Beweis der Sätze der linearen Algebra über Normalformen von Matrizen mit Hilfe des Elementarteilersatzes behandelt, da dieser schöne Beweis in Lehrbüchern der Linearen Algebra selten Platz findet.
/ AUS DEM INHALT: / / /
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen 1
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe 1
0.2 Polynomring 6
0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen 14
0.4 Übungen 16
1 Natürliche und ganze Zahlen 17
1.1 Axiomatik bzw. Konstruktion 17
1.2 Zahldarstellungen 21
1.3 Übungen 25
2 Teilbarkeit und Primzahlen 27
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 27
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik 35
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge 38
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion 40
2.5 Sieb des Eratosthenes 42
2.6 Übungen 44
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und diophantische Gleichungen 47
3.1 Größter gemeinsamer Teiler 47
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung 52
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe 55
3.4 Lineare diophantische Gleichungen 61
3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen 62
3.6 Übungen 66
4 Kongruenzen und Ideale 69
4.1 Kongruenzen 69
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz 76
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz 86
4.4 Lineare Kongruenzen und prime Restklassengruppe 94
4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen 100
4.6 Ergänzung: Gauß'sche Primzahlen 104
4.7 Übungen 107
5 Gruppen 111
5.1 Grundbegriffe 111
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz 125
5.3 Zyklische Gruppen und Ordnung eines Elements 134
5.4 Isomorphiesätze und direktes Produkt 138
5.5 Ergänzung: Semidirektes Produkt 143
5.6 Ergänzung: Der Satz von Jordan-Hölder 145
5.7 Übungen 147
6 Operationen von Gruppen auf Mengen 151
6.1 Grundbegriffe 151
6.2 Bahnformel und Klassengleichung 155
6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow 160
6.4 Übungen 163
7 Abelsche Gruppen und Charaktere 169
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz 169
7.2 Charaktergruppe 176
7.3 Diskrete Fouriertransformation 182
7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen 188
7.5 Ergänzung: Jordansche und rationale Normalform 197
7.6 Übungen 201
8 Prime Restklassengruppe und quadratische Reste 207
8.1 Struktur der primen Restklassengruppe 207
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste 215
8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz 222
8.4 Ergänzung: Primzahltests 234
8.5 Übungen 240
9 Körper und Körpererweiterungen 245
9.1 Konstruktion von Körpern 246
9.2 Körpererweiterungen 250
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern 256
9.4 Zerfallungskörper und algebraischer Abschluss 261
9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 269
9.6 Übungen 274
10 Endliche Körper 277
10.1 Konstruktion und Klassifikation 277
10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen 284
10.3 Endliche Körper und quadratisches Reziprozitätsgesetz 287
10.4 Ergänzung: Zyklische lineare Codes 289
10.5 Übungen 298
11 Faktorisierung von Polynomen 301
11.1 Gauß'sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien 301
11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktorzerlegung über endlichen Körpern 306
11.3 Übungen 314
12 Ergänzung: Galoistheorie 317
12.1 Übungen 328
Sachverzeichnis 331