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Das Buch vermittelt anschaulich die Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie. Für angehende oder schon im Beruf stehende Mathematiklehrer/-innen sowie für Studierende der Mathematik, Physik und Informatik in den ersten Semestern.

 

 

Aus dem Inhalt:

0 Lineare Geometrie im n-dimensionalen reellen Raum 1 / 0.1 Der n-dimensionale reelle Raum 1 / 0.1.1 Zahlen 1 / 0.1.2 Der Vektorraum Rn 7 / 0.1.3 Multiplikation von Vektoren 11 / 0.2 Geraden 13 / 0.2.1 Ausblick 13 / 0.2.2 Geraden im Rn 13 / 0.2.3 Geraden in der Ebene 17 / 0.3 Abstände und Winkel 21 / 0.3.1 Das Skalarprodukt im Rn 21 / 0.3.2 Anwendungen in der Elementargeometrie 23 / 0.3.3 Winkel im Rn 27 / 0.3.4 Senkrechte Vektoren und Abstände 34 / 0.3.5 Die HESSEsche Normalform einer Geradengleichung 36 / 0.3.6 Lineare Unabhängigkeit 39 / 0.3.7 Das Vektorprodukt im R3 42 / 0.3.8 Abstand von Geraden 47 / 0.4 Ebenen 52 / 0.4.1 Ebenen im Rn 52 / 0.4.2 Ebenen im R3 56 / 0.4.3 Abstand eines Punktes von einer Ebene 60 / 0.4.4 Das Spatprodukt 62 / 0.5 Lineare Gleichungssysteme 65 / 0.5.1 Zwei Geraden in der Ebene 65 / 0.5.2 Beschreibung durch Matrizen 67 / 0.5.3 Koef¿zientenmatrix in Zeilenstufenform 68 / 0.5.4 Das GAUSSsche Eliminationsverfahren 75 / 0.5.5 Wahl der Pivots und Rundungsfehler 78 / 1 Grundlagen 83 / 1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen 83 / 1.1.1 Mengen und Teilmengen 83 / 1.1.2 Operationen mit Mengen 85 / 1.1.3 Abbildungen 87 / 1.1.4 Abzählbare Mengen* 91 / 1.1.5 Äquivalenzrelationen* 95 / 1.2 Halbgruppen und Gruppen 100 / 1.2.1 Die natürlichen Zahlen* 100 / 1.2.2 Verknüpfungen und Halbgruppen 105 / 1.2.3 Gruppen 107 / 1.2.4 Die ganzen Zahlen als additive Gruppe* 111 / 1.2.5 Untergruppen und Homomorphismen 114 / 1.3 Ringe und Körper 117 / 1.3.1 Die ganzen Zahlen als Ring* 117 / 1.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen 121 / 1.3.3 Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen* 129 / 1.3.4 Konstruktion der reellen Zahlen* 133 / 1.3.5 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche* 141 / 1.3.6 Komplexe Zahlen 145 / 1.3.7 Endliche Körper* 152 / 1.3.8 Rückblick und Ausblick 158 / 1.4 Polynome* 160 / 1.4.1 Polynome und Polynomfunktionen 160 / 1.4.2 Der Ring der Polynome 161 / 1.4.3 Division mit Rest 163 / 1.4.4 Nullstellen und Werte von Polynomen 165 / 1.4.5 Eine Vorzeichenregel für reelle Polynome 169 / 1.4.6 Der Fundamentalsatz der Algebra 171 / 2 Vektorräume und lineare Abbildungen 177 / 2.1 Grundlagen 178 / 2.1.1 Vektorräume 178 / 2.1.2 Untervektorräume 181 / 2.1.3 Operationen mit Untervektorräumen 182 / 2.1.4 Lineare Unabhängigkeit 185 / 2.2 Basis und Dimension 192 / 2.2.1 Erzeugendensysteme und Basen 192 / 2.2.2 Dimension eines Vektorraums 195 / 2.2.3 Charakterisierungen einer Basis 200 / 2.2.4 Praktische Verfahren zur Bestimmung einer Basis 203 / 2.2.5 Summen und direkte Summen 207 / 2.3 Lineare Abbildungen 215 / 2.3.1 De¿nitionen und Beispiele 215 / 2.3.2 Elementare Eigenschaften linearer Abbildungen 219 / 2.3.3 Spezielle lineare Abbildungen 223 / 2.3.4 Eine Dimensionsformel für lineare Abbildungen 227 / 2.3.5 Lineare Gleichungssysteme und der Rang einer Matrix 229 / 2.3.6 Quotientenvektorräume* 240 / 2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 246 / 2.4.1 Erzeugung linearer Abbildungen 246 / 2.4.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung 248 / 2.4.3 Multiplikation von Matrizen 253 / 2.4.4 Rechenregeln für Matrizen 258 / 2.4.5 Die allgemeine lineare Gruppe 261 / 2.4.6 Elementarmatrizen 264 / 2.4.7 Lineare Gleichungssysteme und Elementarmatrizen* 271 / 2.4.8 Die LR-Zerlegung* 272 / 2.4.9 Dualität* 275 / 2.5 Transformationen 282 / 2.5.1 Basistransformationen und Koordinatentransformationen 282 / 2.5.2 Transformationsformel für lineare Abbildungen 285 / 2.5.3 Eine Normalform für darstellende Matrizen 287 / 3 Determinanten 291 / 3.1 Motivation 291 / 3.1.1 Lineare Gleichungssysteme 291 / 3.1.2 Flächeninhalt und Orientierung 292 / 3.2 Berechnung von Determinanten 297 / 3.2.1 Axiome für Determinanten 297 / 3.2.2 Weitere Eigenschaften der Determinante 300 / 3.2.3 Permutationen 308 / 3.2.4 Die alternierende Gruppe 314 / 3.2.5 Existenz und Eindeutigkeit 315 / 3.3 Minoren 322 / 3.3.1 Die komplementäre Matrix 322 / 3.3.2 LAPLACE-Entwicklung 324 / 3.3.3 Die CRAMERsche Regel 325 / 4 Eigenwerte 327 / 4.1 Grundbegriffe 327 / 4.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 327 / 4.1.2 Endomorphismen des R2 * 330 / 4.1.3 Differentialgleichungen* 332 / 4.1.4 Das charakteristische Polynom 337 / 4.1.5 Bestimmung von Eigenwerten ohne Determinanten* 343 / 4.2 Diagonalisierung und Trigonalisierung 345 / 4.2.1 Diagonalisierbarkeit 345 / 4.2.2 Geometrische und algebraische Vielfachheit 347 / 4.2.3 Rechenverfahren zur Diagonalisierung 351 / 4.2.4 Trigonalisierung* 353 / 4.2.5 Zerlegung in Haupträume* 359 / 4.2.6 Nilpotente Endomorphismen* 365 / 4.2.7 Die JORDANsche Normalform* 372 / 4.2.8 Polynome von Matrizen* 374 / 4.2.9 Fast-Trigonalisierung von reellen Matrizen* 381 / 4.2.10 Gedämpfte Schwingungen* 384 / 5 Bilineare Algebra und Geometrie 389 / 5.1 Kegelschnitte* 389 / 5.1.1 Die Gleichungen der ebenen Schnitte eines Kreiskegels* 389 / 5.1.2 Geometrische Eigenschaften der Kegelschnitte* 392 / 5.1.3 Kegelschnitte durch vorgegebene Punkte* 396 / 5.1.4 Pol und Polare* 403 / 5.2 Bilinearformen 406 / 5.2.1 De¿nitionen und darstellende Matrix 406 / 5.2.2 Transformationsformel für darstellende Matrizen 409 / 5.2.3 Entartung und Rang einer Bilinearform 410 / 5.2.4 Diagonalisierung einer symmetrischen Bilinearform 411 / 5.2.5 Das Trägheitsgesetz von SYLVESTER* 416 / 5.2.6 Exkurs über af¿ne Geometrie* 419 / 5.2.7 Quadriken* 423 / 5.3 Euklidische und unitäre Vektorräume 435 / 5.3.1 Hermitesche Formen 435 / 5.3.2 De¿nitheit 436 / 5.3.3 Orthogonalität 444 / 5.3.4 QR-Zerlegung und Methode der kleinsten Quadrate* 451 / 5.3.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 456 / 5.3.6 Die Gruppe SO(3)* 463 / 5.3.7 Selbstadjungierte Endomorphismen 470 / 5.3.8 Die Singulärwert-Zerlegung* 475 / 5.3.9 Hauptachsentransformation von Quadriken* 478 / 5.3.10 Der Trägheitstensor* 488 / 5.3.11 Ausblick 496 / Literaturverzeichnis 499 // Index 501 // Symbolverzeichnis 507