Der unscheinbare Sachtitel in Kombination mit dem anregenden Titel-Zusatz trifft letztlich ganz gut. Einerseits werden - im Prinzip - nur geringe Vorkenntnisse vorausgesetzt, auf der anderen Seite ist es Ziel, Einsicht in dahinter liegende Zusammenhänge und Strukturen zu gewinnen. Ein wesentliches Motiv ist dabei, auf Fragen einzugehen, die während des Hochschulstudiums nicht näher behandelt werden können. Gearbeitet wird zum überwiegenden Teil mit Axiomen und Beweisen. Der didaktisch-philosophischen Komponente wird eine beträchtliche Bedeutung zugemessen. Angesprochen sind insoweit alle zur Vertiefung bereiten Studenten und andere Personen, die an Mathematik "wirklich" interessiert sind. Ein bemerkenswerter Ansatz, den Bereich Elementarmathematik in basisbezogener Form dem Leser nahe zu bringen. (3)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Einleitung 1
1 Natürliche Zahlen 11
1.1 Zählen 11
1.2 Die Nachfolgerbeziehung 11
1.3 Bezeichnungen für natürliche Zählen 11
1.4 Mengen und Abbildungen von Mengen 12
1.5 Axiome für die Nachfolgerbeziehung 14
1.6 Definition und Beweis durch vollständige Induktion 15
1.7 Grundregeln der Addition 18
1.8 Kleinerbeziehung und Subtraktion 21
1.9 Addition, Folgerungen aus den Grundregeln 24
1.10 Definition der Multiplikation 25
1.11 Die Grundregeln der Multiplikation und das Distributivgesetz 26
1.12 Teilerbeziehung und Division 29
1.13 Division mit Rest und euklidischer Algorithmus 32
1.14 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 34
1.15 Potenzen 37
1.16 Das Summen- und Produktzeichen 38
2 Die 0 und die ganzen Zahlen 43
2.1 Die römischen Zahlzeichen 43
2.2 Die Einfuhrung der 0 44
2.3 Der Zahlenstrahl und die geometrische Reihe 47
2.4 Negative Zahlen 48
2.5 Beweis der Rechengesetze der Adjlition und Multiplikation 51
2.6 Die Kleinerbeziehung im Bereich der ganzen Zahlen 57
2.7 Die Potenzen von ganzen Zahlen 58
2.8 Variation über das Thema "Beweis durch vollständige Induktion 61
2.9 Positionssysteme 63
2.10 Die Grundrechenarten in einem Positionssystem 66
2.11 Lineare Diophantische Gleichungen 72
2.12 Der Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung 77
2.13 Folgerungen aus der eindeutigen Primzahlzerlegung 79
2.14 Teilbarkeitsregeln 81
2.15 Der kleine Fermatsche Satz 84
2.16 Public Key Cryptology 86
3 Rationale Zahlen 89
3.1 Definition der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare 90
3.2 Definition von Addition und Multiplikation rationaler Zahlen 93
3.3 Die Rechengesetze für rationale Zahlen 95
3.4 Die Bruchrechnung 97
3.5 Potenzen von rationalen Zahlen 99
3.6 Die Kleinerbeziehung für rationale Zahlen 102
3.7 Positionsbrüche 106
3.8 Über die Perioden der Positionsdarstellungen rationaler Zahlen 112
3.9 Die Summe der m-ten Potenzen 116
3.10 Irrationale Zahlen 118
4 Reelle Zahlen 123
4.1 Fiindamentalfolgen 123
4.2 Definition der reellen Zahlen 128
4.3 Die Grundrechenoperationen mit reellen Zahlen 129
4.4 Die Kleinerbeziehung für reelle Zahlen 132
4.5 Unendliche Positionsbrüche 133
4.6 Vollständigkeit 137
4.7 Wurzeln 139
4.8 Potenzen mit rationalen Exponenten 143
4.9 Potenzen mit reellen Exponenten 145
4.10 Unendliche Summen 149
4.11 Beschränkte Zahlmengen 151
5 Euklidische Geometrie der Ebene 155
5.1 Das Inzidenzaxiom und das Abstandsaxiom 156
5.2 Strecken, Strahlen und konvexe Mengen 159
5.3 Winkel und Dreiecke 162
5.4 Winkelmessung 165
5.5 Kongruenz 167
5.6 Parallelen und Senkrechte 171
5.7 Das Parallelenaxiom 173
5.8 Ähnlichkeit von Dreiecken 176
5.9 Rechtwinklige Dreiecke 179
5.10 Kreise 183
5.11 Koordinatensysteme 188
5.12 Bewegungen 195
6 Reelle Funktionen einer Veränderlichen 197
6.1 Polynomfunktionen 198
6.2 Stetige Funktionen 200
6.3 Der Satz von Bolzano 202
6.4 Die Umkehrabbildung 206
6.5 Streng monotone Funktionen 209
6.6 Die Definition des Differentialquotienten 211
6.7 Differentiationsregeln 216
6.8 Potenz, Exponentialfunktion und Logarithmus 219
6.9 Der Mittelwertsatz 226
6.10 Potenzreihenentwicklung 229
6.11 Extremwerte einer Funktion 234
6.12 Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe des Differentialquotienten 236
7 Maß und Integral 241
7.1 Teilmengen der euklidischen Ebene 241
7.2 Dreiecke 244
7.3 Polygone 247
7.4 Meßbare Teilmengen der euklidischen Ebene 255
7.5 Die Kreisscheibe 258
7.6 Das bestimmte Integral 263
7.7 Der Hauptsatz der Integralrechnung 268
7.8 Weitere Regeln für den Umgang mit Integralen 269
7.9 Die Kurvenlänge 272
7.10 Die Bogenlänge des Kreises 279
7.11 Das Cartesische Modell der euklidischen Geometrie 284
7.12 Verifikation der Axiome 5.1 bis £.3 285
7.13 Kurvenlänge und Bewegungen 286
7.14 Verifikation von Axiom £.5 289
8 Trigonometrie 291
8.1 Die trigonometrischen Funktionen 291
8.2 Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen 294
8.3 Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen 296
8.4 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen 298
8.5 Dreiecksberechnungen 300
8.6 Drehungen 304
9 Die komplexen Zahlen 307
9.1 Quadratische Gleichungen 308
9.2 Die Definition der komplexen Zahlen 309
9.3 Polarkoordinaten 311
9.4 Komplex-konjugierte Zahlen 313
9.5 Die Analysis der komplexen Zahlen 314
9.6 Komplexe Funktionen 316
9.7 Der sogenannte Hauptsatz der Algebra 317
9.8 Polynome mit Koeffizienten in Zahlkörpern 319
9.9 Rationale Funktionen mit Koeffizienten in Zahlkörpern 323
9.10 Gleichungen dritten Grades mit komplexen Koeffizienten 326
9.11 Gleichungen dritten Grades mit reellen Koeffizienten 329
9.12 Potenzreihen 330
10 Nicht-euklidische Geometrie 335
10.1 Das Poincare'sche Modell der nicht-euklidischen Geometrie 336
10.2 Der nicht-euklidische Abstand zweier Punkte 337
10.3 Nicht-euklidische Bewegungen 340
10.4 Das Trennungsaxiom 344
10.5 Nicht-euklidische Winkelmessung 346
10.6 Das Kongruenzaxiom 349
10.7 Der n.-e. Satz des Pythagoras 350
11 Lösungen der Aufgaben 355
Literaturverzeichnis 393
Index 395
Symbolverzeichnis 395
Sachwortregister 399
Namensregister 405